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    Addition und Subtraktion von Brüchen

    \( \begingroup \)

    Question 1

    Führen Sie die folgenden Rechnungen durch und geben Sie das Ergebnis als gekürzten Bruch an (in den Teilen a) - c): mit positivem Nenner).

    a)

    $\displaystyle\frac{\var{a_coprime}}{\var{b_coprime}}+\frac{\var{c_coprime}}{\var{d_coprime}}=$

    Score: 0/2

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        b)

        $\displaystyle\frac{\var{f_coprime}}{\var{g_coprime}}-\frac{\var{h_coprime}}{\var{j_coprime}}+2=$ 

        Score: 0/3

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            There's nothing more to do from here.

            c)

            $\displaystyle \var{k}+\frac{\var{l}}{\var{m}}-\frac{\var{n}}{\var{o}}=$ .

            Score: 0/2

            Feedback for c).

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                d)

                Schreiben Sie Ihr Ergebnis so, dass der Koeffizient von $x^2$ im Nenner positiv ist.

                $\displaystyle{ \frac{\var{aad}}{ \simplify{x-{bd}} } + \frac{\var{bbd}}{\simplify{x-{cd}}} }$ = interpreted as

                Score: 0/2

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                    Advice

                    a)

                    $\displaystyle\frac{\var{a_coprime}}{\var{b_coprime}}+\frac{\var{c_coprime}}{\var{d_coprime}}$

                    Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, machen wir sie zuerst gleichnamig, d.h. wir bringen sie durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner.

                    Als gemeinsamen Nenner können wir das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner verwenden.

                    Das kleinste gemeinsame Vielfache von $\var{b_coprime}$ und $\var{d_coprime}$ ist $\var{lcm}.$

                    Wir erweitern $\displaystyle\frac{\var{a_coprime}}{\var{b_coprime}}$ mit $\displaystyle\frac{\var{lcm_b}}{\var{lcm_b}}$ und erhalten $\displaystyle\frac{\var{alcm_b}}{\var{lcm}}.$

                    Wir erweitern $\displaystyle\frac{\var{c_coprime}}{\var{d_coprime}}$ mit $\displaystyle\frac{\var{lcm_d}}{\var{lcm_d}}$ und erhalten $\displaystyle\frac{\var{clcm_d}}{\var{lcm}}.$

                    Jetzt rechnen wir

                    $\displaystyle\frac{\var{alcm_b}}{\var{lcm}}+\frac{\var{clcm_d}}{\var{lcm}}=\frac{(\var{alcm_b}+\var{clcm_d})}{\var{lcm}}=\frac{\var{alcmclcm}}{\var{lcm}}.$

                    Zum Schluss schauen wir, ob wir noch kürzen können. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von $\var{alcmclcm}$ und $\var{lcm}$ ist $\var{gcd}.$

                    Der Bruch lässt sich also nicht weiter kürzen und das Endergebnis ist $\displaystyle\frac{\var{num}}{\var{denom}}$.

                    b)

                    $\displaystyle\frac{\var{f_coprime}}{\var{g_coprime}}-\frac{\var{h_coprime}}{\var{j_coprime}}+2.$

                    Wir machen wieder die Brüche als erstes gleichnamig, indem wir sie durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner $\var{lcm2}$ bringen.

                    Wir erweitern $\displaystyle\frac{\var{f_coprime}}{\var{g_coprime}}$ und bekommen $\displaystyle\frac{\var{flcm2_g}}{\var{lcm2}}$ und erweitern $\displaystyle\frac{\var{h_coprime}}{\var{j_coprime}}$ zu $\displaystyle\frac{\var{hlcm2_j}}{\var{lcm2}}.$

                    Nun haben wir

                    $\displaystyle\frac{\var{flcm2_g}}{\var{lcm2}}-\frac{\var{hlcm2_j}}{\var{lcm2}}=\frac{\var{flcmhlcm}}{\var{lcm2}}.$

                    Jetzt soll noch $2$ addiert werden. Wir schreiben $2$ ebenfalls als Bruchzahl mit Nenner $\var{lcm2}$:

                    $\displaystyle2=2\bigg(\frac{\var{lcm2}}{\var{lcm2}}\bigg)=\frac{\var{twolcm2}}{\var{lcm2}}.$

                    Jetzt rechnen wir weiter:

                    $\displaystyle\frac{\var{flcmhlcm}}{\var{lcm2}}+\frac{\var{twolcm2}}{\var{lcm2}}=\frac{\var{num2unsim}}{\var{lcm2}}.$

                    Zum Schluss schauen wir, ob wir noch kürzen können. Der ggT von $\var{num2unsim}$ und $\var{lcm2}$ ist $\var{gcd2}.$

                    Der Bruch lässt sich also nicht weiter kürzen und wir erhalten als Endergebnis $\displaystyle\simplify{{num2unsim}/{lcm2}}$.

                    c)

                    $\displaystyle\var{k}+\frac{\var{l_coprime}}{\var{m_coprime}}-\frac{\var{n_coprime}}{\var{o_coprime}}.$

                    Wir müssen die Dezimalzahl in eine Bruchzahl umwandeln und schreiben Sie mit einer entsprechenden Potenz von $10$ im Nenner:

                    $\displaystyle\frac{\var{k}}{1}\times\frac{100}{100}=\frac{\var{100k}}{100}.$

                    An dieser Stelle prüfen wir, ob sich der so entstandene Bruch kürzen lässt. Der ggT von Zähler und Nenner ist $\var{gcd_k100}.$

                    Der Bruch lässt sich also nicht kürzen und wir rechnen weiter mit

                    \[\simplify{{{100k}}/{100}}\text{.}\]

                    Damit können wir den gegebenen Ausdruck umschreiben als $\displaystyle\frac{\var{k_simp}}{\var{simp}}+\frac{\var{l_coprime}}{\var{m_coprime}}-\frac{\var{n_coprime}}{\var{o_coprime}}.$

                    Wir erweitern alle Brüche so, dass wir sie mit Nenner $\var{gcd3}$ schreiben können.

                    \[\frac{\var{k_simp}}{\var{simp}} =\frac{\var{k_simp*term1}}{\var{gcd3}},\quad \frac{\var{l_coprime}}{\var{m_coprime}}=\frac{\var{l_coprime*term2}}{\var{gcd3}},\quad\frac{\var{n_coprime}}{\var{o_coprime}}=\frac{\var{n_coprime*term3}}{\var{gcd3}}\text{.}\]

                    Jetzt können wir die Addition durchführen.

                    \[\frac{\var{k_simp*term1}}{\var{gcd3}}+\frac{\var{l_coprime*term2}}{\var{gcd3}}-\frac{\var{n_coprime*term3}}{\var{gcd3}}=\frac{\var{(k_simp*term1)+(l_coprime*term2)-(n_coprime*term3)}}{\var{gcd3}}\text{.}\]

                    Zum Abschluss prüfen wir wieder, ob gekürzt werden kann. Der ggT von Zähler und Nenner ist $\var{gcd_numgcd3}.$

                    Dieser Bruch lässt sich also nicht weiter kürzen, und wir bekommen

                    \[\simplify{{num1}/{gcd3}}\text{.}\]

                    d)

                    $\displaystyle{ \frac{\var{aad}}{ \simplify{x-{bd}} } + \frac{\var{bbd}}{\simplify{x-{cd}}} }$

                    Wir bringen die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $(\simplify{x-{bd}})(\simplify{x-{cd}})$:

                    $\displaystyle{ \frac{\var{aad}}{ \simplify{x-{bd}} } + \frac{\var{bbd}}{\simplify{x-{cd}}}  =   \frac{\var{aad} (\simplify{x-{cd}})  }{ (\simplify{x-{bd}})(\simplify{x-{cd}}) } + \frac{\var{bbd}(\simplify{x-{bd}})}{(\simplify{x-{bd}})(\simplify{x-{cd}})}   }$

                    Nun addieren wir zu

                    \[\frac{\simplify[basic]{{aad} (x-{cd})  + {bbd}(x-{bd})}}{(\simplify{x-{bd}})(\simplify{x-{cd}})}   = \frac{ \var{ad}}{ \simplify{x^2  - {bd+cd}*x + {bd*cd}}  } \]
                    \( \endgroup \)

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