a)

Um eine endliche Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, "erweitern" wir mit einer geeigneten Zehnerpotenz und kürzen dann den resultierenden Bruch. 

i)

$\var{a}$

$$\frac{\var{a}}{1}\times\frac{10}{10}=\frac{\var{10a}}{10}\text{.}$$

ii)

$\var{b}$

$$\frac{\var{b}}{1}\times\frac{100}{100}=\frac{\var{100b}}{100}=\simplify{{100b}/{100}}\text{.}$$

iii)

$\var{d}$

$$\frac{\var{d}}{1}\times\frac{10}{10}=\frac{\var{10d}}{10}=\simplify{{10d}/{10}}\text{.}$$

iv)

$0.\bar{\var{c}}$

Um eine periodische Dezimalzahl in eine Bruchzahl umzuschreiben, machen wir den folgenden Ansatz:

$$x=0.\bar{\var{c}}\text{.}$$

Wir multiplizieren beide Seiten mit $10$ und erhalten

$$10x=\var{c}.\bar{\var{c}}\text{.}$$

Jetzt ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung ab:

$$\begin{align} &&\var{c}.\bar{\var{c}}&={10}x\\ -&&{0.\bar{\var{c}}}&=x\\ &&\overline{\qquad} & \overline{\qquad}\\ &&{\var{c}}&=9x\\ \\ &&\frac{\var{c}}{9}&=x \end{align}$$

Zum Schluss kürzen wir $\displaystyle\frac{\var{c}}{9}$ mit $3$ und bekommen $\simplify{{c}/{9}}$. Also gilt $0.\bar{\var{c}}=\simplify{{c}/{9}}$.

b)

$\displaystyle\var{f}$

$$\var{f}\times\frac{\var{f1000}}{\var{f1000}}=\frac{\var{f2}}{\var{f1000}}\text{.}$$

Wir berechnen den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner; dies ist $\var{mygcd}$.

Indem wir damit kürzen, erhalten wir

$$\frac{\var{f3}}{\var{f4}}.$$

c)

$\var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}.$

Wir gehen ähnlich vor wie beim letzten Teil von a):

$x=\var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}.$

Um in diesem Fall zum Ziel zu kommen, multiplizieren wir mit $100 = 10^2$, weil der periodische Teil die Länge $2$ hat.

$100x=\var{h}\var{j}\var{k}.\overline{\var{j}\var{k}}.$

Wir ziehen die erste Gleichung von der zweiten ab und lösen nach $x$ auf.

$$\begin{align} &&\var{h}\var{j}\var{k}.\overline{\var{j}\var{k}}&=100x\\ -&&\var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}&=x\\ &&\overline{\qquad} & \overline{\qquad}  \\ &&{{\var{h}}\var{j}\var{k-h}}&=99x\\ \\ &&\frac{\var{numerator}}{\var{g}}&=x\text{.}\\ \end{align}$$

Zum Schluss prüfen wir noch, ob der Bruch gekürzt werden kann. Der ggT von Zähler und Nenner ist $\var{gcd1 }$.

Indem wir damit kürzen, erhalten wir $\displaystyle\simplify{{{numerator}}/{g}}$ und somit 

$$\begin{align} \var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}=\simplify{{{numerator}}/{g}}\text{ als Bruchzahl.}\\ \end{align}$$