Ejercicio de una declaración universal sobre los enteros y su negación.
", "licence": "Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International"}, "statement": "\nEsta pregunta esta relacionada con proposiciones y cuantificadores $\\forall $ y $ \\exists $ y sus negaciones.
El conjunto de todos los enteros se denota por $ \\mathbb Z $.
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\n
Primero reescribamos esta declaración usando notación matemática para los conjuntos y los cuantificadores.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es una formulación correcta de la Declaración 1? Elija cualquiera que corresponda.
$\\exists z\\in \\mathbb Z~:~\\forall x\\in \\mathbb Z~:~x\\le z\\le 2 x $
", "$\\forall z\\in \\mathbb Z~:~\\exists x\\in \\mathbb Z~:~x\\le z\\le 2 x $
", " $\\forall x\\in \\mathbb Z~:~\\exists z\\in \\mathbb Z~:~ x < z\\le 2 x $
$\\exists x\\in \\mathbb Z~:~\\exists z\\in \\mathbb Z~:~x\\le z\\le 2 x $
"], "matrix": ["-3", "5", "-3", "-3"], "distractors": ["Incorrecto. El orden de los cuantificadores $\\forall x$ y $\\exists z$ son relevantes.", "Incorrecto. El orden de los cuantificadores $\\forall x$ y $\\exists z$ son relevantes.", "", "Incorrecto: $ \\exists x $ no es lo mismo que $ \\forall x $."]}, {"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Sea $x$ un entero y considere la siguiente Sentencia 2:
\n$\\exists z\\in \\mathbb Z~:~ x\\le z\\le 2 x $
\n¿La Sentencia 2 es correcta si $x=0$?
", "minMarks": 0, "maxMarks": "2", "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Si", "No"], "matrix": ["2", 0], "distractors": ["Para $ x = 0 $ y $ z = 0 $ la declaraci\u00f3n es verdadera.", "Para $ x = 0 $ y $ z = 0 $ la declaraci\u00f3n es verdadera."]}, {"type": "numberentry", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": "3", "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "¿Existe algún entero $x$ de modo que la Sentencia 2 en b) sea falsa?
\nSi no, ingrese $0$, de lo contrario, proporcione un entero $ x $ (obtendrá comentarios adicionales en la parte d):
", "minValue": "-19999999999999999", "maxValue": "-1", "correctAnswerFraction": false, "allowFractions": false, "mustBeReduced": false, "mustBeReducedPC": 0, "displayAnswer": "", "showFractionHint": true, "notationStyles": ["plain", "en", "si-en"], "correctAnswerStyle": "plain"}, {"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "En vista de su respuesta a c), ¿es verdadera la sentencia 1 propuesta en la opción a)?
", "minMarks": 0, "maxMarks": "3", "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Si", "No
"], "matrix": ["0", "3"], "distractors": ["No, la sentencia 1 es incorrecta. Si $ x \\le 2x $, entonces un $ z $ adecuado para que $x \\le z \\le 2x ~ $ es por ejemplo, $ z = x $. Por lo tanto, para que la declaraci\u00f3n sea incorrecta necesitamos $ \\neg (x \\le 2x) $, es decir, $x>2x$, que (al restar $ x $ a ambos lados) se cumple si y solo si $0> x$. Por lo tanto, cualquier entero negativo $ x $ hace que la sentencia 2 sea falsa y, por lo tanto, es un contraejemplo de la Sentencia 1.", "No, la sentencia 1 es incorrecta. Si $ x \\le 2x $, entonces un $ z $ adecuado para que $x \\le z \\le 2x ~ $ es por ejemplo, $ z = x $. Por lo tanto, para que la declaraci\u00f3n sea incorrecta necesitamos $ \\neg (x \\le 2x) $, es decir, $x>2x$, que (al restar $ x $ a ambos lados) se cumple si y solo si $0> x$. Por lo tanto, cualquier entero negativo $ x $ hace que la sentencia 2 sea falsa y, por lo tanto, es un contraejemplo de la Sentencia 1."]}, {"type": "m_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Considere la negación de la sentencia 1 en a).
\n¿Cuál de las siguientes opciones es una formulación correcta de la negación de la sentencia 1? .
", "minMarks": 0, "maxMarks": "6", "shuffleChoices": true, "displayType": "checkbox", "displayColumns": "1", "minAnswers": 0, "maxAnswers": "5", "warningType": "none", "showCellAnswerState": true, "markingMethod": "sum ticked cells", "choices": ["Para cada entero $ x $ existe un entero $ z $ tal que $ z <x $ o $ z> 2x $.
", "Para cada entero $ z $ existe un entero $ x $ tal que $ z <x $ o $ z> 2x $.
", "Existe un entero $x$ tal que hay un entero $z$ para que $z<x$ o $z>2x$.
", " Existe un entero $ x $ tal que para todos los enteros $ z $: $ z <x $ o $ z> 2x $.
Existe un entero $ x $ tal que para todos los enteros $ z $: $ x> z> 2x $.
"], "matrix": ["-4", "-4", "-4", "6", "-3"], "distractors": ["El orden de los cuantificadores $\\forall x$ y $\\exists z$ es importantes.", "Incorrecto. El nombre de las variables en los cuantificadores $\\forall x$ y $\\exists z$ es importante.", "Incorrecto: $\\exists x~\\exists z~$ no puede ser la negaci\u00f3n de $\\forall x~\\exists z~$.", "", "Incorrecto: $x\\le z\\le 2x$ significa \"$x\\le z$ y $z\\le 2x$\" cuya negaci\u00f3n es \"$x>z$ o $z>2x$\"."]}, {"type": "m_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Finalmente, encuentre la formulación correcta de la negación de la Sentencia 1 en términos de símbolos matemáticos.
\n", "minMarks": 0, "maxMarks": "6", "shuffleChoices": true, "displayType": "checkbox", "displayColumns": "1", "minAnswers": 0, "maxAnswers": "6", "warningType": "none", "showCellAnswerState": true, "markingMethod": "sum ticked cells", "choices": ["$\\exists x\\in \\mathbb Z~:~\\forall z\\in \\mathbb Z~:~(z<x)\\wedge (z>2 x)$
", "$\\exists x\\in \\mathbb Z~:~\\forall z\\in \\mathbb Z~:~(z<x)\\vee (z>2 x)$
", "$\\exists x\\in \\mathbb Z~:~\\exists z\\in \\mathbb Z~:~(z<x)\\vee (z>2 x)$
", "$\\forall x\\in \\mathbb Z~:~\\exists z\\in \\mathbb Z~:~(z<x)\\vee (z>2 x)$
", "$\\exists z\\in \\mathbb Z~:~\\forall x\\in \\mathbb Z~:~x>z>2 x$
"], "matrix": ["-4", "6", "-4", "-4", "-4"], "distractors": ["Incorrecto, porque $ x\\le z \\le 2x $ representa $(x \\le z) \\wedge (z \\le 2x)$ cuya negaci\u00f3n es $ \\neg (x \\le z) \\vee \\neg (z \\le 2x )$", "Correcto! Note que $x\\le z\\le 2x$ significa $(x\\le z)\\wedge (z\\le 2x)$ cuya negaci\u00f3n es $\\neg(x\\le z)\\vee \\neg(z\\le 2x)$.", "Incorrecto", "Incorrecto. La negaci\u00f3n de $\\exists z~P(z)$ es $\\forall z~\\neg P(z)$.", "Hay dos errores aqu\u00ed. Las variables cuantificadas $x$ y $z$ debe aparecer en su orden original, y $x\\le z\\le 2x$ significa $(x\\le z)\\wedge (z\\le 2x)$ cuya negaci\u00f3n es $\\neg(x\\le z)\\vee \\neg(z\\le 2x)$."]}], "partsMode": "all", "maxMarks": 0, "objectives": [], "penalties": [], "objectiveVisibility": "always", "penaltyVisibility": "always", "contributors": [{"name": "Bernhard von Stengel", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/1054/"}, {"name": "Luis Hernandez", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/2870/"}]}]}], "contributors": [{"name": "Bernhard von Stengel", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/1054/"}, {"name": "Luis Hernandez", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/2870/"}]}