Decide whether statements about square and cube numbers are always true, sometimes true or never true.
\nGerman translation of https://numbas.mathcentre.ac.uk/question/22768/always-sometimes-or-never-square-and-cube-numbers/ von Stanislav Duris.
\n", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "Wählen Sie für jede der folgenden Aussagen \"Immer\", \"Manchmal\" oder \"Nie\".
\nWählen Sie
\ni)
\nSei zum Beispiel $x = -5$.
\n\\[ \\begin{align} x^2 &= (-5)^2 \\\\&= 25 \\\\ x^3 &= (-5)^3 \\\\&= -125 \\\\x^3 &\\lt x^2\\text{.} \\end{align} \\]
\nJetzt sei $x = 5$.
\n\\[ \\begin{align} x^2 &= 5^2 \\\\&= 25 \\\\ x^3 &= 5^3 \\\\&= 125 \\\\x^3 &\\gt x^2\\text{.}\\end{align} \\]
\nDeshalb ist $x^3$ manchmal größer als $x^2$.
\n(Ein anderer Fall, in dem $x^3 < x^2$ gilt, ist $x=\\frac 12$. Können Sie die Menge aller $x$ angeben, für die $x^3<x^2$ gilt?)
\n\n
\n
ii)
\nDie Aussage ist wahr für $x \\gt 1$ und für $x \\lt 0$, aber falsch für $x$ mit $0 \\leq x \\leq 1$. Sei zum Beispiel $x=\\frac 12$.
\n\\[ \\begin{align} \\text{Wenn } x &= \\frac 12\\text{,} \\\\x^2 &= \\frac 14\\text{, also} \\\\ x^2 &\\lt x \\text{.} \\end{align} \\]
\nDeshalb ist $x^2$ manchmal größer als $x$.
\n(Können Sie die Menge aller $x$ angeben, für die $x^2 > x$ gilt?)
\n\n
\n
iii)
\nWenn man zwei negative Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis positiv; ebenso, wenn man zwei positive Zahlen multipliziert; und $0^2=0$. Daher ist $x^2$ niemals negativ.
\n\n
\n
iv)
\nEin Produkt von negativen Zahlen mit einer ungeraden Anzahl an Faktoren ist negativ. Ist also $x$ negativ, dann ist $x^3$ immer negativ.
\n\n
\n
v)
\nDas ist richtig, wenn $x =0$ oder $x= 1$, aber falsch für alle anderen Werte von $x$. Deshalb ist $x^2$ manchmal gleich $x$.
\n\n
\n
vi)
\nDie Aussage ist wahr für $x = -1$, aber falsch für alle anderen Werte von $x$. Deshalb ist $x^2$ manchmal gleich $-x$.
\n\n
\n
vii)
\nJedenfalls ist $(x+1)^2 \\ge 0$, denn es handelt sich um eine Quadratzahl. Daher gilt $(x+1)^2 > x$ für alle negativen $x$.
\nIst $x\\ge 0$, so gilt $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 > x$, denn $x^2\\ge 0$, $2x\\ge x$, $1>0$. Also ist immer $(x+1)^2>x$.
\n\n\n
viii)
\nFür $x = 5$ haben wir:
\n\\[ \\begin{align} (x+1)^3 &= (5 + 1)^3 \\\\&= 6^3 \\\\&= 216 \\gt x = 5 \\end{align} \\]
\nAndererseits gilt für $x =-4$
\n\\[ \\begin{align} (x+1)^3 &= (-4 + 1)^3 \\\\&= (-3)^3 \\\\&= -27 \\lt x = -4 \\end{align} \\]
\nAlso ist $(x+1)^3$ manchmal größer als $x$.
\n\n\nix)
\nWir haben
\n\\[x^3\\cdot x = x \\cdot x \\cdot x \\cdot x = x^2 \\cdot x^2\\text{.}\\]
\nDeshalb gilt immer, dass $x^3 \\cdot x=x^2 \\cdot x^2$.
\n\n\nx)
\nDie Zahlen $x^2$ und $x$ haben genau dann unterschiedliches Vorzeichen, wenn $x$ negativ ist. Also haben $x^2$ und $x$ manchmal unterschiedliches Vorzeichen.
\n\n\nxi)
\nFür $x<0$ ist $x^3<0$, für $x>0$ ist $x^3>0$ (und für $x=0$ ist $x^3=0$). Also haben $x^3$ und $x$ niemals unterschiedliche Vorzeichen.
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", "xi) Die Vorzeichen von $x^3$ und $x$ sind unterschiedlich.
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