Questions around induction, also illustrating statements where only one of induction start/induction step actually works.
", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "Noch ein paar Fragen rund um das Induktionsprinzip.
", "advice": "a)
\nMan rechnet leicht nach, dass die Aussagen $P(1)$ und $P(2)$ korrekt sind, das aber $P(3)$ falsch ist. Es ist daher nicht zutreffend, dass für alle $n\\ge 1$ die Aussage $P(n)$ gilt. Schon für $n=3$ gilt auch nicht $P(n-1)\\Rightarrow P(n)$.
\nb)
\nFür $n=0$ haben wir
\n\\[ \\prod_{i=0}^0 (1+x^{2^i}) = (1+x) \\]
\nund
\n\\[ \\frac{1-x^{2^1}}{1-x} = \\frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = 1+x, \\]
\nalso ist $P(0)$ wahr.
\n\nWir zeigen nun, dass für alle $n\\ge 1$ die Implikation $P(n-1)\\Rightarrow P(n)$ gilt (also, dass der Induktionsschritt in dem Beweis, dass $P(n)$ für alle $n$ wahr ist, richtig ist). Sei also $P(n-1)$ richtig. Wir haben dann
\n\\[ \\prod_{i=0}^n (1+x^{2^i}) = \\prod_{i=0}^{n-1} (1+x^{2^i}) \\cdot (1+x^{2^n}) = \\frac{1-x^{2^n}}{1-x} \\cdot (1+x^{2^n}) = \\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}, \\]
\nwobei wir im zweiten Schritt die \"Induktionsvoraussetzung\" $P(n-1)$ und im dritten Schritt die dritte binomische Formel verwendet haben.
\nNach dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt nun, dass $P(n)$ für alle $n$ wahr ist, insbesondere gilt auch $P(1)$.
\n\nc)
\nDie ersten Terme der Folge $a_n$ sind:
\n| $a_0$ | \n$a_1$ | \n$a_2$ | \n$a_3$ | \n$a_4$ | \n$a_5$ | \n$a_6$ | \n
| 1 | \n5 | \n6 | \n11 | \n17 | \n28 | \n45 | \n
Wir sehen direkt an der Tabelle, dass $P(0)$ falsch und $P(1)$ und $P(6)$ wahr sind.
\nEs ist klar, dass aus $P(n-2)$ und $P(n-1)$ folgt, dass $P(n)$ gilt: Sind $a_{n-2}$ und $a_{n-1}$ durch $5$ teilbar, so auch die Summe, und das ist gerade $a_n$.
\nAndererseits sehen wir an einem ähnlichen Argument auch, dass es nie vorkommen kann, dass zwei aufeinanderfolgende Terme in der Folge durch $5$ teilbar sind, dann dann wäre auch die Differenz durch $5$ teilbar, und das ist gerade der Vorgänger in der Folge. Dann müsste auch der Term davor durch $5$ teilbar sein, und induktiv würden wir sehen, das alle vorherigen Terme, also insbesonder auch $a_0$ durch $5$ teilbar sein müssten.
\nZusatzfrage: Gibt es unendlich viele natürliche Zahlen $n$, so dass $a_n$ durch $5$ teilbar ist?
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\n\\[ P(n):\\qquad\\qquad \\sum_{i=1}^n i = \\frac{3n^2-5n + 4}{2} \\]
\nKreuzen Sie alle wahren Aussagen über $P(n)$ an:
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\n\\[ P(n):\\qquad\\qquad \\prod_{i=0}^n (1+x^{2^i}) = \\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}.\\]
\nKreuzen Sie alle wahren Aussagen in der folgenden Liste an:
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\n\\[ a_0 = 1, \\quad a_1 = 5,\\quad a_n = a_{n-1}+a_{n-2},\\ n\\ge 2. \\]
\nBetrachten Sie die folgende Aussage
\n\\[ P(n):\\qquad\\qquad a_n\\ \\text{ist durch}\\ 5\\ \\text{teilbar.} \\]
\nund kreuzen Sie alle Aussagen über $P$ an, die wahr sind:
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