// Numbas version: exam_results_page_options {"name": "Multiple-choice-Fragen zu den Begriffen injektiv, surjektiv, bijektiv", "extensions": [], "custom_part_types": [], "resources": [], "navigation": {"allowregen": true, "showfrontpage": false, "preventleave": false, "typeendtoleave": false}, "question_groups": [{"pickingStrategy": "all-ordered", "questions": [{"name": "Multiple-choice-Fragen zu den Begriffen injektiv, surjektiv, bijektiv", "tags": [], "metadata": {"description": "
Some simple abstract questions on injectivity, surjectivity, bijectivity.
", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "Beantworten Sie die folgenden Fragen zu den Begriffen injektiv, surjektiv, bijektiv.
", "advice": "a) Nein, zum Beispiel ist die Abbildung $\\{\\var{a}\\}\\to\\{\\var{a}, \\simplify{{a}+1}\\}$ mit $\\var{a}\\mapsto\\var{a}$ nicht surjektiv, denn $\\simplify{{a}+1}$ liegt nicht in ihrem Bild.
\nb) Ja, denn es gibt gar nicht zwei verschiedene Elemente im Definitionsbereich, für die man die Injektivitätsbedingung prüfen müsste.
\nc) Ja, denn mit dem Argument aus Teil b) ist sowieso jede Abbildung, deren Definitionsbereich eine einelementige Menge ist, injektiv.
\nd) Ja, denn wir können die Elemente der beiden Mengen jeweils durchnummerieren, etwas $X = \\{x_1, \\dots, x_m\\}$, $Y=\\{y_1, \\dots, y_n\\}$, wobei $m$ die Anzahl der Elemente in $X$ und $n$ die Anzahl der Elemente in $Y$ ist. Nach Voraussetzung gilt $1\\le n\\le m$. Die Abbildung mit $x_i\\mapsto y_i$ für $i=1, \\dots, n$ und, falls $n<m$, $x_i\\mapsto y_1$ für $i=n+1, \\dots m$, ist surjektiv.
\ne) Falsch: Wenn es eine surjektive Abbildung $X\\to Y$ gibt, dann kann es in manchen Fällen durchaus auch eine injektive Abbildung geben, zum Beispiel könnte $X=Y$ sein. Die Identitätsabbildung ist dann sowohl surjektiv als auch injektiv.
\nf) Richtig: Ist $f\\colon X\\to Y$ injektiv, so definieren wir eine surjektive Abbildung $g\\colon Y\\to X$, indem wir ein Element $x_0\\in X$ wählen, und dann $g(y) = \\begin{cases} x & \\text{wenn}\\ x\\in X\\ \\text{mit}\\ f(x)=y\\\\x_0 & \\text{wenn}\\ y\\not\\in{\\rm Im}(f)\\end{cases}$. Da $f$ injektiv ist, gibt es zu jedem $y$ höchstens ein $x$ mit $f(x)=y$. Ist $x\\in X$, so gilt $g(f(x))=x$, also liegt $x$ im Bild von $g$. Also ist $g$ surjektiv.
", "rulesets": {}, "extensions": [], "variables": {"a": {"name": "a", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(-10..10)", "description": "", "templateType": "anything"}, "b": {"name": "b", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(1..9)", "description": "", "templateType": "anything"}, "bb": {"name": "bb", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(3..7)", "description": "", "templateType": "anything"}, "c": {"name": "c", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(-2..3)", "description": "", "templateType": "anything"}}, "variablesTest": {"condition": "", "maxRuns": 100}, "ungrouped_variables": ["a", "b", "bb", "c"], "variable_groups": [], "functions": {}, "preamble": {"js": "", "css": ""}, "parts": [{"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Sei $X = \\{ \\var{a} \\}$. Ist dann jede Abbildung $X\\to Y$ surjektiv?
", "minMarks": 0, "maxMarks": 0, "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Ja.", "Nein."], "matrix": [0, "1"], "distractors": ["", ""]}, {"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Ist jede Abbildung $\\{ \\var{b}\\} \\to \\{ 1, \\dots, \\var{bb}\\}$ injektiv?
", "minMarks": 0, "maxMarks": 0, "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Ja.", "Nein."], "matrix": ["1", 0], "distractors": ["", ""]}, {"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Sei $X = \\{\\var{c}\\}$. Richtig oder falsch: Jede surjektive Abbildung $X\\to Y$ ist bijektiv.
", "minMarks": 0, "maxMarks": 0, "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Ja.", "Nein."], "matrix": ["1", 0], "distractors": ["", ""]}, {"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Seien $X$ und $Y$ nicht-leere endliche Mengen, und es habe $X$ mindestens so viele Elemente wie $Y$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung $X\\to Y$.
", "minMarks": 0, "maxMarks": 0, "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Richtig.", "Falsch."], "matrix": ["1", 0], "distractors": ["", ""]}, {"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Seien $X$ und $Y$ unendliche Mengen. Wenn es eine surjektive Abbildung $X\\to Y$ gibt, dann kann es keine injektive Abbildung $X\\to Y$ geben.
", "minMarks": 0, "maxMarks": 0, "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Richtig.", "Falsch."], "matrix": [0, "1"], "distractors": ["", ""]}, {"type": "1_n_2", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Seien $X$ und $Y$ nicht-leere Mengen. Wenn es eine injektive Abbildung $X\\to Y$ gibt, dann gibt es eine surjektive Abbildung $Y\\to X$.
", "minMarks": 0, "maxMarks": 0, "shuffleChoices": false, "displayType": "radiogroup", "displayColumns": 0, "showCellAnswerState": true, "choices": ["Ja.", "Nein."], "matrix": ["1", 0], "distractors": ["", ""]}], "partsMode": "all", "maxMarks": 0, "objectives": [], "penalties": [], "objectiveVisibility": "always", "penaltyVisibility": "always", "contributors": [{"name": "Ulrich G\u00f6rtz", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/7603/"}]}]}], "contributors": [{"name": "Ulrich G\u00f6rtz", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/7603/"}]}