Two slightly more complicated questions on handling fractions.
", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "Weitere Aufgaben zur Bruchrechnung.
", "advice": "a) Es gilt $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$, also können wir den ersten Bruch mit $x-y$ erweitern, um ihn auf den Nenner $x^2-y^2$ zu bringen. Dann lässt sich die Summe als ein Bruch schreiben. Nach der Zusammenfassung im Zähler sehen wir, dass wir mit $x+y$ kürzen können.
\n\\[ \\frac{\\var{a}}{x+y} + \\frac{\\simplify{({c}-{a})x + ({c}+{a})y}}{x^2-y^2}= \\frac{\\var{a}(x-y)}{x^2-y^2} + \\frac{\\simplify{({c}-{a})x + ({c}+{a})y}}{x^2-y^2} = \\frac{\\simplify{{a}x- {a}y} + (\\simplify{({c}-{a})x + ({c}+{a})y})}{x^2-y^2} = \\frac{\\var{c}(x+y)}{x^2-y^2} = \\frac{\\var{c}}{x-y}. \\]
\nb) Wir bringen zunächst den Ausdruck in der Klammer auf einen Bruch mit Nenner $\\simplify{{f}y}$. Den Zähler des resultierenden Bruchs können wir mit der ersten binomischen Formel umschreiben: $\\simplify{{d^2}x^2 + 2{d}{f}x*y + {f^2}* y^2} = (\\simplify{{d}x+{f}y})^2$. Wir kürzen dann mit $\\simplify{({sgn({f})*d}x+{abs(f)}y)}$. (Das Vorzeichen sorgt dafür, dass im Endergebnis der Koeffizient von $y$ im Nenner positiv ist.) Außerdem kürzen wir mit $\\var{ggt}$ (das kann man natürlich auch schon früher machen, um kleinere Zahlen zu erhalten.)
\n\\[ \\frac{ 1}{ \\simplify{{d}x+{f}y} } \\cdot\\left( \\frac{\\simplify{{d^2}x^2}}{\\simplify{{f}y}} +\\simplify{2{d}x+{f}y} \\right) = \\frac{ 1}{ \\simplify{{d}x+{f}y} } \\cdot\\frac{\\simplify{{d^2}x^2 +2{d}{f}x y + {f^2}y^2 }}{\\simplify{{f}y}} = \\frac{(\\simplify{ {d}x+{f}y })^2}{\\simplify{{f}y}(\\simplify{{d}x+{f}y})} = \\frac{\\simplify{ {xx}x + {yy}y}}{\\simplify{{yy}y}}.\\]
", "rulesets": {}, "extensions": [], "variables": {"a": {"name": "a", "group": "Part a)", "definition": "random(-4..6 except 0)", "description": "", "templateType": "anything"}, "c": {"name": "c", "group": "Part a)", "definition": "random(-3..7 except [0,a,-a])", "description": "", "templateType": "anything"}, "d": {"name": "d", "group": "Part b)", "definition": "random(2..6)", "description": "", "templateType": "anything"}, "f": {"name": "f", "group": "Part b)", "definition": "random(-6..6 except 0)", "description": "", "templateType": "anything"}, "yy": {"name": "yy", "group": "Part b)", "definition": "abs(f)/gcd(d,f)", "description": "", "templateType": "anything"}, "xx": {"name": "xx", "group": "Part b)", "definition": "sgn(f)*d/gcd(d,f)", "description": "", "templateType": "anything"}, "ggt": {"name": "ggt", "group": "Part b)", "definition": "gcd(d,f)", "description": "", "templateType": "anything"}}, "variablesTest": {"condition": "", "maxRuns": 100}, "ungrouped_variables": [], "variable_groups": [{"name": "Part a)", "variables": ["a", "c"]}, {"name": "Part b)", "variables": ["d", "f", "yy", "xx", "ggt"]}], "functions": {}, "preamble": {"js": "", "css": "fraction {\n display: inline-block;\n vertical-align: middle;\n}\nfraction > numerator, fraction > denominator {\n float: left;\n width: 100%;\n text-align: center;\n line-height: 2.5em;\n}\nfraction > numerator {\n border-bottom: 1px solid;\n padding-bottom: 5px;\n}\nfraction > denominator {\n padding-top: 5px;\n}\nfraction input {\n line-height: 1em;\n}\n\nfraction .part {\n margin: 0;\n}\n\n.table-responsive, .fractiontable {\n display:inline-block;\n}\n.fractiontable {\n padding: 0; \n border: 0;\n}\n\n.fractiontable .tddenom \n{\n text-align: center;\n}\n\n.fractiontable .tdnum \n{\n border-bottom: 1px solid black; \n text-align: center;\n}\n\n\n.fractiontable tr {\n height: 3em;\n}\n"}, "parts": [{"type": "gapfill", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "Schreiben Sie den folgenden Term als einen Bruch. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. (Schreiben Sie das Ergebnis so, dass der Koeffizient von $x$ im Nenner positiv ist.)
\n$\\displaystyle{ \\frac{\\var{a}}{x+y} + \\frac{\\simplify{({c}-{a})x + ({c}+{a})y}}{x^2-y^2} = }$
Achten Sie darauf, Ihr Ergebnis vollständig zu vereinfachen. Verwenden Sie die dritte binomische Formel.
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