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{"name": "Lineare Funktionen", "extensions": [], "custom_part_types": [], "resources": [], "navigation": {"allowregen": true, "showfrontpage": false, "preventleave": false, "typeendtoleave": false}, "question_groups": [{"pickingStrategy": "all-ordered", "questions": [{"name": "Lineare Funktionen", "tags": [], "metadata": {"description": "<p>Some simple questions around injectivity, surjectivity, bijectivity (and the inverse function) of linear functions $\\mathbb R\\to \\mathbb R$ (i.e., $x\\mapsto mx+b$ for some real numbers $m$, $b$).</p>", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "", "advice": "<p>F&uuml;r eine Funktion $f\\colon \\mathbb R\\to \\mathbb R$, $x\\mapsto mx+b$ sind die folgenden Eigenschaften &auml;quivalent:</p>\n<p>(i) $m \\ne 0$,</p>\n<p>(ii) $f$ hat eine Umkehrfunktion $g\\colon \\mathbb R\\to \\mathbb R$</p>\n<p>(iii) $f$ ist bijektiv,</p>\n<p>(iv) $f$ ist injektiv,</p>\n<p>(v) $f$ ist surjektiv,</p>\n<p>(vi) $f$ ist nicht konstant,</p>\n<p>und in diesem Fall ist die Umkehrfunktion von $f$ gegeben durch $x\\mapsto \\frac 1m x - \\frac bm$.</p>\n<p>Alle diese Implikationen sind nicht schwer zu zeigen. Einige Hinweise: F&uuml;r (i) $\\Rightarrow$ (ii) rechnet man direkt nach, dass $g\\circ f = {\\rm id}$, $f\\circ g={\\rm id}$, wenn $g$ definiert ist durch $x\\mapsto \\frac 1m x - \\frac bm$ (wegen $m\\ne 0$ ist das m&ouml;glich). Die Implikationen (ii) $\\Rightarrow$ (iii) $\\Rightarrow$ (iv) sind klar.</p>\n<p>F&uuml;r (iv) $\\Rightarrow$ (v) benutze, dass offensichtlich (iii) $\\Rightarrow$ (i) gilt und wir uns (i) $\\Rightarrow$ (ii) schon &uuml;berlegt haben. Ferner ist (v) $\\Rightarrow$ (vi) $\\Rightarrow$ (i) klar, und damit folgt die &Auml;quivalenz aller Aussagen.</p>\n<p></p>\n<p>Au&szlig;erdem gilt f&uuml;r $f$ wie oben: $f={\\rm id}_{\\mathbb R}$ genau dann, wenn $m=1$ und $b=0$, denn das bedeutet gerade $f(x)=x$.</p>\n<p></p>\n<p>Mit diesen &Uuml;berlegungen lassen sich alle Aufgabenteile beantworten.</p>", "rulesets": {}, "extensions": [], "variables": {"m": {"name": "m", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(-8..8 except 0)", "description": "", "templateType": "anything"}, "b": {"name": "b", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(-5..5)", "description": "", "templateType": "anything"}, "m1": {"name": "m1", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(-9..-4)", "description": "", "templateType": "anything"}, "b1": {"name": "b1", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(-6..6 except 0)", "description": "", "templateType": "anything"}}, "variablesTest": {"condition": "!(m=1 && b=0)", "maxRuns": 100}, "ungrouped_variables": ["m", "b", "m1", "b1"], "variable_groups": [], "functions": {}, "preamble": {"js": "", "css": ""}, "parts": [{"type": "m_n_2", "useCustomName": true, "customName": "Konkrete Funktion", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [{"label": "Multiple Choice", "rawLabel": "", "otherPart": 1, "variableReplacements": [], "availabilityCondition": "answered", "penalty": "", "penaltyAmount": 0, "lockAfterLeaving": false}], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": "Konkrete Funktion", "prompt": "<p>Kreuzen Sie alle Eigenschaften an, die die Funktion $f\\colon \\mathbb R\\to \\mathbb R$, $x\\mapsto \\simplify[all, !noleadingminus]{{m} x + {b}}$ hat.</p>", "minMarks": 0, "maxMarks": "2", "shuffleChoices": true, "displayType": "checkbox", "displayColumns": 0, "minAnswers": 0, "maxAnswers": 0, "warningType": "none", "showCellAnswerState": true, "choices": ["injektiv", "surjektiv", "bijektiv", "konstant", "$f$ ist die Identit&auml;tsabbildung"], "matrix": ["2/3", "2/3", "2/3", "-1", "-1"], "distractors": ["", "", "", "", ""]}, {"type": "m_n_x", "useCustomName": true, "customName": "Multiple Choice", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [{"label": "Umkehrfunktion konkret", "rawLabel": "", "otherPart": 2, "variableReplacements": [], "availabilityCondition": "answered", "penalty": "", "penaltyAmount": 0, "lockAfterLeaving": false}], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": "Multiple Choice", "prompt": "<p>Welche Aussagen sind (a) f&uuml;r alle Funktionen $f\\colon \\mathbb R\\to \\mathbb R$, $x\\mapsto m x+b$ (f&uuml;r reelle Zahlen $m,b\\in\\mathbb R$) wahr, (b) f&uuml;r manche dieser Funktionen wahr, und f&uuml;r manche nicht, (c) f&uuml;r alle dieser Funktionen falsch?</p>\n<p>Kreuzen Sie entsprechend \"immer wahr\", \"manchmal wahr\" und \"niemals wahr\" an.</p>", "minMarks": 0, "maxMarks": "9", "minAnswers": 0, "maxAnswers": 0, "shuffleChoices": true, "shuffleAnswers": false, "displayType": "radiogroup", "warningType": "none", "showCellAnswerState": true, "choices": ["$f$ ist die Identit&auml;tsabbildung", "$f$ ist konstant", "$f$ ist injektiv", "$f$ ist surjektiv", "$f$ ist bijektiv", "$f$ ist injektiv, aber nicht surjektiv", "$f$ ist surjektiv, aber nicht injektiv", "$f\\circ f$ hat ebenfalls die Form $x\\mapsto m^\\prime x + b^\\prime$ f&uuml;r reelle Zahlen $m^\\prime, b^\\prime$", "$\\mathop{\\rm Im}(f)$ hat $27$ Elemente"], "matrix": [[0, "1", 0], [0, "1", 0], [0, "1", 0], [0, "1", 0], [0, "1", 0], [0, 0, "1"], [0, 0, "1"], ["1", 0, 0], [0, 0, "1"]], "layout": {"type": "all", "expression": ""}, "answers": ["immer wahr", "manchmal wahr", "niemals wahr"]}, {"type": "gapfill", "useCustomName": true, "customName": "Umkehrfunktion konkret", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [{"label": "Umkehrfunktion allgemein", "rawLabel": "", "otherPart": 3, "variableReplacements": [], "availabilityCondition": "", "penalty": "", "penaltyAmount": 0, "lockAfterLeaving": false}], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "<p>Die Funktion $f\\colon \\mathbb R\\to \\mathbb R$, $x\\mapsto \\simplify[all, !noleadingminus]{{m1} x + {b1}}$ ist bijektiv und besitzt folglich eine Umkehrfunktion $g$. 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