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Questions on the construction $t+U$ where $K$ is a field, $t\\in K^n$, $U\\subseteq K^n$ (in parts a) - d), $K=\\mathbb R$ and $n=2$ so that we can draw pictures). Part e) is a bit more abstract and probably more difficult.

", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "

In dieser Aufgabe wird die Konstruktion von Teilmengen von $K^n$ ($K$ ein Körper) der Form

\\[ t+U = \\{ t+u;\\ u\\in U\\}, \\]

$U\\subseteq K^n$ eine Teilmenge, eingeübt.

", "advice": "

In diesem Fall kann man für $t$ jeden Punkt verwenden, der auf der grünen Geraden liegt. Insbesondere gibt es unendlich viele Möglichkeiten.

In diesem Fall kann man jedes $t$ nehmen, das die folgende Eigenschaft hat: Es gibt $x$ in $U$ und $y$ auf der grünen Geraden, so dass $x+t=y$. Mit anderen Worten: Man kann irgendeinen Punkt $x$ in $U$ und einen Punkt $y$ auf der grünen Geraden nehmen und dann $t=y-x$ setzen. (Überlegen Sie sich, warum das funktioniert, indem Sie die beiden Geraden durch Geradengleichungen beschreiben. Da sie parallel sind, haben Sie dieselbe Steigung.

In diesem Fall ist $t$ eindeutig bestimmt. Man kann $t$ bestimmen, indem man schaut, was man zu (zum Beispiel) der linken unteren Ecke des blauen Rechtecks addieren muss, um zur linken unteren Ecke des grünen Rechtecks zu kommen.

In diesem Fall gibt es kein solches $t$, weil die beiden Rechtecke eine unterschiedliche Form haben. Oder anders erklärt: Der Wert, den man zu der linken unteren Ecke des blauen Rechtecks addieren muss, um zur linken unteren Ecke des grünen Rechtecks zu kommen, ist ein anderer als der für die beiden rechten oberen Ecken.

Die Situation, dass $V=t+U$ für mehrere, aber nur endlich viele $t$ gilt, kann nicht auftreten. Das kann man folgendermaßen begründen: Seien $t_1 \\ne t_2$ Elemente von $\\mathbb Q^n$ mit $t_1 + U = t_2 +U$. Dann gilt $U= (t_1-t_2) + U$. (Das sollten Sie nachrechnen.) Dann gilt aber auch

\\[ U = (t_1-t_2) + U = (t_1-t_2) + ((t_1-t_2) + U) = 2(t_1-t_2)+ U. \\]

Induktiv zeigt man, dass $U= i(t_1-t_2) + U$, also

\\[ V = t_1+ U = t_1 + (i(t_1-t_2) + U) = ((i+1)t_1 - it_2) +U \\]

für alle $i\\in \\mathbb N$. Weil $t_1\\ne t_2$ ist, gilt $t_1-t_2 \\ne 0\\in \\mathbb Q^n$, und daher hat die Menge $\\{ t_1 + i(t_1-t_2);\\ i\\in \\mathbb N\\}$ unendlich viele Elemente.

Zusatzfrage: Ist die Antwort für jeden Körper $K$ dieselbe?

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Sei $K=\\mathbb R$.

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Wir betrachten die blaue Teilmenge $U\\subseteq \\mathbb R^2$. Gibt es ein $t\\in \\mathbb R^2$ so dass die grüne Teilmenge die Form $t+U$ hat?

[[0]]

Wenn es ein solches $t$ gibt, dann geben Sie bitte eines an. (Sie können ganze Zahlen oder Bruchzahlen eingeben.) Wenn es kein solches $t$ gibt, geben Sie bitte in beiden Einträgen $0$ ein.

[[1]]

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Wir betrachten die blaue Teilmenge $U\\subseteq \\mathbb R^2$. Gibt es ein $t\\in \\mathbb R^2$ so dass die grüne Teilmenge die Form $t+U$ hat?

[[0]]

Wenn es ein solches $t$ gibt, dann geben Sie bitte eines an. (Sie können ganze Zahlen oder Bruchzahlen eingeben.) Wenn es kein solches $t$ gibt, geben Sie bitte in beiden Einträgen $0$ ein.

[[1]]

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[[0]]

Wenn es ein solches $t$ gibt, dann geben Sie bitte eines an (Sie können ganze Zahlen oder Bruchzahlen eingeben.) Wenn es kein solches $t$ gibt, geben Sie bitte in beiden Einträgen $0$ ein.

[[1]]

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[[0]]

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[[1]]

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(Diese Aufgabe ist schwieriger.)

Sei $K = \\mathbb Q$, $n\\ge 1$. Gibt es Teilmengen $U, V\\subseteq K^n$, so dass mehr als ein Element $t\\in K^n$ mit $V=t+U$ existiert, aber nicht unendlich viele?

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