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{"name": "Wie viele lineare Abbildung gibt es, so dass ... (\u00fcber $\\mathbb F_p$)", "extensions": ["linearalgebra2"], "custom_part_types": [], "resources": [], "navigation": {"allowregen": true, "showfrontpage": false, "preventleave": false, "typeendtoleave": false}, "question_groups": [{"pickingStrategy": "all-ordered", "questions": [{"name": "Wie viele lineare Abbildung gibt es, so dass ... (\u00fcber $\\mathbb F_p$)", "tags": [], "metadata": {"description": "<p>Compute how many linear maps $\\mathbb F_p^n\\to \\mathbb F_p^m$ exist which take prescribed values on a given set of elements in $\\mathbb F_p^n$ (which is linearly dependent).</p>", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "<p>Wir betrachten den K&ouml;rper $\\mathbb F_{\\var{p}}$.</p>", "advice": "<p><em>Allgemeine Vorbemerkung:</em> Wir haben gesehen, dass wir ganz allgemein eine lineare Abbildung $V\\to W$ definieren k&ouml;nnen, indem wir auf einer Basis von $V$ beliebige Werte vorgeben. Ein linear unabh&auml;ngiges System von Vektoren k&ouml;nnen wir stets zu einer Basis erg&auml;nzen; daher k&ouml;nnen wir auch immer eine lineare Abbildung finden, die auf einer linear unabh&auml;ngigen Familie $v_1, \\dots, v_r$ vorgegebene Werte annimmt, sofern es keine anderen Bedingungen gibt. Diese lineare Abbildung ist dadurch auf dem ganzen Untervektorraum $\\langle v_1, \\dots, v_r\\rangle$ eindeutig bestimmt, denn jedes Element darin l&auml;sst sich als Linearkombination von $v_1, \\dots, v_r$ schreiben, und wegen der Linearit&auml;t k&ouml;nnen wir den Abbildungswert durch die Werte $f(v_1), \\dots, f(v_r)$ ausdr&uuml;cken. F&uuml;r die hier gegebene Aufgabe m&uuml;ssen wir also zwei Fragen beantworten. Wir schreiben $n =\\var{n}$, $m=\\var{m}$, um das Prinzip allgemein formulieren zu k&ouml;nnen.</p>\n<ul>\n<li>Sei $v_1,\\dots, v_r$ eine Basis des Untervektorraums, der von den vorgegebenen Vektoren in $\\mathbb F_{\\var{p}}^n$ (auf der linken Seite der $\\mapsto$ Pfeile) erzeugt wird. Sei $g\\colon \\langle v_1, \\dots, v_r\\rangle\\to\\mathbb F_{\\var{p}}^{m}$ die (eindeutig bestimmte) Abbildung, die auf den $v_i$ den richtigen Wert annimmt. Hat <em>diese</em> Abbildung dann auf <em>allen</em> gegebenen Vektoren den vorgegebenen Wert? Wenn nicht, dann gibt es gar keine lineare Abbildung mit den gew&uuml;nschten Eigenschaften.</li>\n<li>Wenn wir im ersten Punkt erfolgreich waren, haben wir schon eine Abbildung auf $\\langle v_1, \\dots, v_r\\rangle$, die die gew&uuml;nschten Werte annimmt. Um die Familie $v_1,\\dots, v_r$ zu einer Basis fortzusetzen, m&uuml;ssen wir $n-r$ Vektoren hinzunehmen, auf denen wir ein beliebiges Element auf $\\mathbb F_{\\var p}^m$ als Wert vorgeben k&ouml;nnen, also eines von $\\var{p}^m$ Elementen. Insgesamt gibt es also $\\var{p}^{m(n-r)}$ lineare Abbildungen, die die vorgegebenen Werte haben.</li>\n</ul>\n<p>Um die Rechnung im gegebenen Beispiel durchzuf&uuml;hren, schreiben wir die Vektoren \"auf der linken Seite der $\\mapsto$-Pfeile\" als die Spalten der Matrix</p>\n<p>\\[ A = \\var{random_invertible * A}. \\]</p>\n<p>Dann bilden die Vektoren in den Spalten mit Index in $\\var{set(pivots)}$ eine Basis des von allen Spalten erzeugten Untervektorraums, wie wir an der reduzierten Zeilenstufenform von $A$ sehen (siehe den Hinweis). Auf diesen die Werte vorzugeben, ist also kein Problem. Wir erhalten dadurch eine lineare Abbildung $g$ vom Untervektorraum, der von den Spalten von $A$ erzeugt wird, nach $\\mathbb F_{\\var{p}}^\\var{m}$. Eine lineare Abbildung der gew&uuml;nschten Form existiert genau dann, wenn die Abbildung $g$ auch die Vektoren in den Spalten mit Index in $\\var{set(non_pivots)}$ auf die vorgegebenen Werte abbildet. Wir sehen an der reduzierten Zeilenstufenform, wie wir die Spalten mit Index in $\\var{set(non_pivots)}$ als Linearkombination der anderen Spalten ausdr&uuml;cken k&ouml;nnen, und k&ouml;nnen damit die Werte von $g$ auf diesen Vektoren berechnen.</p>\n<div data-jme-visible=\"!(num_maps=0)\">\n<p>Im gegebenen Beispiel hat $g$ tats&auml;chlich f&uuml;r jede Spalte von $A$ den gew&uuml;nschten Wert. <span data-jme-visible=\"n=len(pivots)\">Der von den Spalten von $A$ erzeugte Untervektorraum hat Dimension $\\var{n}$, ist also gleich $\\mathbb F_{\\var{p}}^{\\var{n}}$, und $g$ ist die einzige solche Abbildung.</span><span data-jme-visible=\"!(n=len(pivots))\">Indem wir die Basis des von den Spalten von $A$ erzeugten Untervektorraums zu einer Basis von $\\mathbb F_{\\var{p}}^\\var{n}$ erg&auml;nzen und auf den zus&auml;tzlichen Basisvektoren beliebige Werte vorgeben, erhalten wir lineare Abbildungen mit den gew&uuml;nschten Eigenschaften, insgesamt $\\var{p}^{\\var{m*(n-len(pivots))}} = \\var{num_maps}$ Abbildungen.</span></p>\n</div>\n<p data-jme-visible=\"num_maps=0\">Im gegebenen Beispiel hat $g$ f&uuml;r den Vektor in Spalte $\\var{error_column}$ den Wert $\\var{ec}$ , und das ist nicht der vorgegebene Wert. Es existiert also keine lineare Abbildung mit den genannten Werten.</p>", "rulesets": {}, "extensions": ["linearalgebra2"], "variables": {"num_rows": {"name": "num_rows", "group": "Ungrouped variables", "definition": "n", "description": "", "templateType": "anything"}, "num_columns": {"name": "num_columns", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(n..n+2)", "description": "", "templateType": "anything"}, "A": {"name": "A", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random_ref(num_rows, num_columns, pivots)", "description": "<p>(The columns are) a set of vectors in $K^n$.</p>", "templateType": "anything"}, "m": {"name": "m", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(3..4)", "description": "", "templateType": "anything"}, "n": {"name": "n", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(3..4)", "description": "", "templateType": "anything"}, "pivots": {"name": "pivots", "group": "Ungrouped variables", "definition": "[1,2] + sort(shuffle(3..num_columns)[0..num_pivots-2])", "description": "", "templateType": "anything"}, "B": {"name": "B", "group": "Ungrouped variables", "definition": "F*A + error_term", "description": "", "templateType": "anything"}, "F": {"name": "F", "group": "Ungrouped variables", "definition": "matrix(repeat(repeat(random(-3..3), n), m))", "description": "", "templateType": "anything"}, "non_pivots": {"name": "non_pivots", "group": "Ungrouped variables", "definition": "filter(!(x in pivots), x, 1..num_columns)", "description": "", "templateType": "anything"}, "error_term": {"name": "error_term", "group": "Ungrouped variables", "definition": "if(\n  (random(1..100) < 50) or (len(non_pivots) = 0),\n  matrix(repeat(repeat(0, num_columns), m)),\n  let(\n    row, random(1..m),\n    matrix(map(switch(\n      r = row, single_entry(num_columns, random(non_pivots), 1),\n      repeat(0, num_columns)\n      ), r, 1..m))\n  )\n)", "description": "", "templateType": "anything"}, "num_maps": {"name": "num_maps", "group": "Ungrouped variables", "definition": "if(all(map(all(map(x=0, x, row)), row, list(error_term))),\n  p^(m*(n - num_pivots)),\n  // else\n  0\n)", "description": "", "templateType": "anything"}, "num_pivots": {"name": "num_pivots", "group": "Ungrouped variables", "definition": "max(2, min(m, num_columns - random(0..3)))", "description": "", "templateType": "anything"}, "random_invertible": {"name": "random_invertible", "group": "Ungrouped variables", "definition": "modp(random_trafo(n, [1,1,1,2,1,1,3,2,3,1,1]), 7)", "description": "", "templateType": "anything"}, "error_column": {"name": "error_column", "group": "Ungrouped variables", "definition": "if(\n  num_maps > 0,\n  -1,\n  filter(!(columns(error_term)[col]= repeat(0, m)), col, 0..num_columns-1)[0]+1)", "description": "", "templateType": "anything"}, "ec": {"name": "ec", "group": "Ungrouped variables", "definition": "let(c1, columns(B)[error_column-1],\n    c2, columns(error_term)[error_column-1],\n    vector(map(mod(c1[c] - c2[c], p), c, 0..m-1)))", "description": "", "templateType": "anything"}, "p": {"name": "p", "group": "Ungrouped variables", "definition": "random(5,7)", "description": "", "templateType": "anything"}}, "variablesTest": {"condition": "len(non_pivots)>1", "maxRuns": 100}, "ungrouped_variables": ["num_rows", "num_columns", "A", "m", "n", "pivots", "B", "F", "non_pivots", "error_term", "num_maps", "num_pivots", "random_invertible", "error_column", "ec", "p"], "variable_groups": [], "functions": {}, "preamble": {"js": "", "css": ""}, "parts": [{"type": "gapfill", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "<p>Wie viele lineare Abbildungen $\\mathbb F_{\\var{p}}^{\\var{n}} \\to \\mathbb F_{\\var{p}}^{\\var{m}}$, gibt es, so dass</p>\n<p>\\[ \\var{latex(latex_mapsto(modp(random_invertible*A, p), modp(B, p)))}? \\]</p>\n<p>[[0]] (Bei dieser Aufgabe k&ouml;nnen Sie Potenzen $a^b$ als <code>a^b</code> eingeben; Sie m&uuml;ssen den Wert nicht ausrechnen.)</p>", "stepsPenalty": 0, "steps": [{"type": "information", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": 0, "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "prompt": "<p>Die reduzierte Zeilenstufenform der Matrix</p>\n<p>\\[ \\var{modp(random_invertible * A, p)} \\]</p>\n<p>ist</p>\n<p>\\[ \\var{modp(A, p)}. \\]</p>"}], "gaps": [{"type": "jme", "useCustomName": false, "customName": "", "marks": "10", "scripts": {}, "customMarkingAlgorithm": "", "extendBaseMarkingAlgorithm": true, "unitTests": [], "showCorrectAnswer": true, "showFeedbackIcon": true, "variableReplacements": [], "variableReplacementStrategy": "originalfirst", "nextParts": [], "suggestGoingBack": false, "adaptiveMarkingPenalty": 0, "exploreObjective": null, "answer": "{num_maps}", "showPreview": true, "checkingType": "absdiff", "checkingAccuracy": 0.001, "failureRate": 1, "vsetRangePoints": 5, "vsetRange": [0, 1], "checkVariableNames": false, "singleLetterVariables": false, "allowUnknownFunctions": true, "implicitFunctionComposition": false, "valuegenerators": []}], "sortAnswers": false}], "partsMode": "all", "maxMarks": 0, "objectives": [], "penalties": [], "objectiveVisibility": "always", "penaltyVisibility": "always", "contributors": [{"name": "Ulrich G\u00f6rtz", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/7603/"}]}]}], "contributors": [{"name": "Ulrich G\u00f6rtz", "profile_url": "https://numbas.mathcentre.ac.uk/accounts/profile/7603/"}]}