A group (chosen randomly, the groups with 6 and those 8 elements are available) is given by its multiplication table. The task is to check whether the group is commutative, to identify all elements of order $\\le 2$, and to find a subgroup which has half as many elements as the given group.
\n(In German.)
", "licence": "Creative Commons Attribution 4.0 International"}, "statement": "Wir betrachten die Gruppe $G = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}$$G=\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$, die durch die folgende Verknüpfungstafel gegeben ist:
\n\\[ \\var{latex(latex_table)} \\]
", "advice": "a)
\nDass die Gruppe kommutativ ist, bedeutet, dass die Verknüpfungstafel symmetrisch bezüglich der Diagonalen von links oben nach rechts unten ist.
\nb)
\nDie Eigenschaft $g = g^{-1}$ ist äquivalent zu $g\\cdot g = 1$ ($1$ ist das neutrale Element der Verknüpfung). Es sind daher alle diejenigen Elemente anzugeben, für die die entsprechende Eintrag auf der Diagonale gleich $1$ ist.
\nc)
\nEs ist eine Teilmenge $H$ mit $\\var{order/2}$ Elementen zu finden, die das neutrale Element $1$ enthält, und abgeschlossen ist unter der Verknüpfung, d.h. für alle $h_1, h_2\\in H$ gilt auch $h_1\\cdot h_2\\in H$. Wenn man alle anderen Zeilen und Spalten der Verknüpfungstabelle streicht, dürfen also nur noch Elemente aus der Teilmenge $H$ stehen bleiben.
\n\nBemerkung.
\nDiese Gruppe ist isomorph zur Gruppe $\\mathbb Z/6$ (allerdings hier ungewöhnlich geschrieben, da $1$ das neutrale Element in der obigen Verknüpfungstafel ist). Die Gruppe ist zyklisch, d.h. es gibt $g\\in G$ mit $G = \\langle g\\rangle$. Es existiert genau eine Untergruppe mit $3$ Elementen.
\nDiese Gruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_3$. Es gibt genau eine Untergruppe mit $3$ Elementen.
\nDiese Gruppe ist isomorph zur Gruppe $\\mathbb Z/8$ (allerdings hier ungewöhnlich geschrieben, da $1$ das neutrale Element in der obigen Verknüpfungstafel ist). Die Gruppe ist zyklisch, d.h. es gibt $g\\in G$ mit $G = \\langle g\\rangle$. Es existiert genau eine Untergruppe mit $4$ Elementen.
\nDiese Gruppe ist isomorph zum Produkt $\\mathbb Z/4 \\times \\mathbb Z/2$. Es gibt drei Untergruppen mit $4$ Elementen.
\nDiese Gruppe ist isomorph zum Produkt $\\mathbb Z/2\\times \\mathbb Z/2 \\times \\mathbb Z/2$. Es gibt sieben Untergruppen mit $4$ Elementen.
\nDiese Gruppe ist die Diedergruppe $D_8$ mit $8$ Elementen. Es gibt drei Untergruppen mit $4$ Elementen.
\nDiese Gruppe ist die sogenannte Quaternionen-Gruppe. Es gibt drei Untergruppen mit $4$ Elementen.
\nWenn Sie \"Probiere ein andere Aufgabe ...\" anklicken, können Sie eine andere Gruppe untersuchen. (Die Daten in der Aufgabe decken alle zwei sechselementigen und alle fünf achtelementigen Gruppen ab.)
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[[0]]
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\n[[0]]
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