Superposición de campos eléctricos

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Question statement

Un cuadrado de lado {sidecm} $cm$ posee distintas cargas eléctricas situadas en sus esquinas. Las cuales se denotan como $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ y $q_4$ y cuyas magnitudes son respectivamente {q1}, {q2}, {q3} y {q4} $nC$ .

En esta pregunta interactiva se le pide determinar el campo eléctrico total en el centro del cuadrado incluyendo tanto la magnitud como la dirección de este (es un vector).

Esta pregunta es un ejemplo del principio de superposición, concerniente a la naturaleza física y matemática de un campo vectorial.

Use el valor de las constanes brindadas en los videos de clases y en sesiones de tutoría, puede usar hasta 4 cifras significativas y asuma que el medio circundante es el vacío, donde $\epsilon_0=8,8\times10^{-12}$

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

Emag	decimal	dec("1.984464966658164295795750549152473297522e+4")
eps0	number	0.000000000008854
epsair	number	1.0005
Ex1	decimal	dec("5.081694053340995934515184882792500000003e+3")
Ex2	decimal	dec("1.2704235133352490189841352800255e+3")
Ex3	decimal	dec("8.892964593346742708624878248249999999998e+3")
Ex4	decimal	dec("-2.540847026670498037968270560051000000001e+3")
Extotal	decimal	dec("1.2704235133352489624155927851017e+4")
Ey1	decimal	dec("5.081694053340995934515184882792500000003e+3")
Ey2	decimal	dec("-1.2704235133352490189841352800255e+3")
Ey3	decimal	dec("8.892964593346742708624878248249999999998e+3")
Ey4	decimal	dec("2.540847026670498037968270560051000000001e+3")
Eytotal	decimal	dec("1.5245082160022987662124198411068e+4")
k	number	8983250812.581928
q1	integer	-4
q2	integer	-1
q3	integer	7
q4	integer	-2
qq1	number	-0.000000004
qq2	number	-0.000000001
qq3	number	7.000000000000001*10^(-9)
qq4	number	-0.000000002
r	decimal	dec("7.071067811865475488016887242096989205941e-2")
rsq	decimal	dec("5.000000000000000345080050302437523816048e-3")
side	rational	1/10
sidecm	integer	10
theta	decimal	dec("8.480557109226520005458873413556957906913e+1")
thetad	decimal	dec("8.480557109226520005458873413556957906913e+1")
thetar	decimal	dec("1.480136439594151498946064084625954160255")

Automatically regenerate variables?

Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
sqrt(Extotal^2+Eytotal^2)

JME function reference

Description

Magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado.

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `decimal`

dec("1.984464966658164295795750549152473297522e+4")

← Depends on:

This variable doesn't seem to be used anywhere.

Parts

Campo producido por la carga 1 Gap-fill
1. Gap Ex1 Number entry
  Add
2. Gap Ey1 Number entry
  Add
Campo producido por la carga 2 Gap-fill
1. Gap Ex2 Number entry
  Add
2. Gap Ey2 Number entry
  Add
Campo producido por la carga 3 Gap-fill
1. Gap Ex3 Number entry
  Add
2. Gap Ey3 Number entry
  Add
Campo producido por la carga 4 Gap-fill
1. Gap Ex4 Number entry
  Add
2. Gap Ey4 Number entry
  Add
Campo eléctrico neto Gap-fill
1. Gap Extotal Number entry
  Add
2. Gap Eytotal Number entry
  Add
Ángulo Gap-fill
1. Gap theta Number entry
  Add

Gap-fill

Ask the student a question, and give any hints about how they should answer this part.

Determine el campo eléctrico en el centro del cuadrado y que produce la carga $q_1$ ({q1}nC).

$E_x(q_1)=$ Ex1V/m

$E_y(q_1)=$ Ey1V/m

Advice

Este es un ejercicio de que involucra la superposición de cuatro campos eléctricos diferentes, lo cual equivale a la suma de cuatro vectores. Cada campo proviene de la ley de Coulomb (para cargas puntuales), por lo tando se debe considerar el factor

$\displaystyle {q_i\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}$ ,

donde, debido a que el punto de interés es el centro del cuadrado, la distancia $r$ es la misma para cada una de las cuatro cargas (en este caso {side*100}/ $\sqrt{2}\approx$ {siground(r*100,4)} cm). En cada caso el campo apunta radialmente alejandose de la respectiva carca puntual tal que para $q_1$ este es hacia abajo e izquierda en igual medida, para $q_2$ este es hacia arriba y hacia la izquierda y ocurriendo algo similar con las demás. Para cargas negativas, el signo $q$ puede ser pensado como una inversión en el sentido del campo eléctrico (los campos se dirigen hacia las cargas negativas). Debe ser cuidadosa o cuidadoso al determinar la dirección y note que los diagramas generalmente ayudan mucho!

El valor de $E$ puede obtenerse fácilmente y la dirección en cada caso está dada por

$\displaystyle{1\over\sqrt{2}}\left(\pm \hat{i} \pm \hat{j}\right)$ ,

con las combinaciones de $\pm$ dependiendo de qué carga estamos considerando y con $\sqrt{2}$ siendo un factor que proviene del hecho de que es un vector unitario.

Una vez que se ha obtenido cada campo vectorial, se pueden sumar por componente (aplicar el principio de superposición) dando el campo $E$ total en el centro del cuadrado.

Finalmente, el ángulo con la línea que une $q_2$ y $q_4$ se puede obtener observando que el producto escalar del campo total con la dirección del desplazamiento de $q_2$ a $q_4$ da un ángulo:

$\displaystyle{\vec{E}.\left(-\frac{\hat{i}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{j}}{\sqrt{2}}\right)=\left|\vec{E}\right|\cos(\theta)}$

tal que

$\displaystyle{-E_x+E_y=\sqrt{2}\left|\vec{E}\right|\cos(\theta)\Rightarrow \theta=\cos^{-1}\left(\frac{E_y-E_x}{\sqrt{2}\left|\vec{E}\right|}\right)}$ .

Entonces solo queda determinar el valor de theta que se encuentra en el rango de ángulo requerido.

Give a worked solution to the whole question.

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