Dezimalzahlen in Bruchzahlen umwandeln

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Ulrich Görtz

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Ulrich Görtz 4 years, 5 months ago

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Ulrich Görtz 4 years, 5 months ago

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Ulrich Görtz 4 years, 6 months ago

Created this as a copy of Decimals to fractions.

Name	Status	Author	Last Modified
Decimals to fractions	Ready to use	Lauren Richards	20/11/2019 14:47
J. Richard's copy of Decimals to fractions	Ready to use	J. Richard Snape	05/12/2022 15:24
Dezimalzahlen in Bruchzahlen umwandeln	Ready to use	Ulrich Görtz	17/11/2024 18:33

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Question statement

Brüche lassen sich als Dezimalzahlen schreiben (und periodische Dezimalzahlen können als Bruchzahlen geschrieben werden). In den folgenden Fragen können Sie üben, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln.

Der Überstrich zeigt an, dass sich die Ziffernfolge darunter periodisch wiederholt: $0,\overline{3} = 0,3333\dots$ .

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

a	number	0.1
b	number	0.25
c	integer	6
d	number	0.4
b_	number	25
b_coprime	number	1
d_coprime	number	2
answer	integer	54
cround	rational	2

			Name	Type	Generated Value

f	number	0.546
f2	number	546
mygcd	number	2
h	integer	5
j	integer	8
k	integer	7
f3	number	273
f4	number	500
f1000	integer	1000
numerator	integer	582
g	integer	99
gcd1	number	3
numerator_coprime	number	194
g_coprime	number	33

			Name	Type	Generated Value

Automatically regenerate variables?

Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
random(0.1,0.3,0.7,0.9)

JME function reference

Description

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `number`

0.1

This variable doesn't seem to be used anywhere.

Parts

Part a) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
3. Gap Gap 2. Number entry
  Add
4. Gap Gap 3. Number entry
  Add
5. Gap Gap 4. Number entry
  Add
6. Gap Gap 5. Number entry
  Add
7. Gap Gap 6. Number entry
  Add
8. Gap Gap 7. Number entry
  Add
Part b) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
Part c) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add

Gap-fill

Ask the student a question, and give any hints about how they should answer this part.

Schreiben Sie die folgenden Dezimalzahlen als gekürzte Brüche (mit positivem Nenner).

$\var{a}=$ Gap 0. Gap 1.

ii)

$\var{b}=$ Gap 2. Gap 3.

iii)

$\var{d}=$ Gap 6. Gap 7.

iv)

$0.\bar{\var{c}}=$ Gap 4. Gap 5.

Advice

a)

Um eine endliche Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, "erweitern" wir mit einer geeigneten Zehnerpotenz und kürzen dann den resultierenden Bruch.

$\var{a}$

$\frac{\var{a}}{1}\times\frac{10}{10}=\frac{\var{10a}}{10}\text{.}$

ii)

$\var{b}$

$\frac{\var{b}}{1}\times\frac{100}{100}=\frac{\var{100b}}{100}=\simplify{{100b}/{100}}\text{.}$

iii)

$\var{d}$

$\frac{\var{d}}{1}\times\frac{10}{10}=\frac{\var{10d}}{10}=\simplify{{10d}/{10}}\text{.}$

iv)

$0.\bar{\var{c}}$

Um eine periodische Dezimalzahl in eine Bruchzahl umzuschreiben, machen wir den folgenden Ansatz:

$x=0.\bar{\var{c}}\text{.}$

Wir multiplizieren beide Seiten mit $10$ und erhalten

$10x=\var{c}.\bar{\var{c}}\text{.}$

Jetzt ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung ab:

$\begin{align} &&\var{c}.\bar{\var{c}}&={10}x\\ -&&{0.\bar{\var{c}}}&=x\\ &&\overline{\qquad} & \overline{\qquad}\\ &&{\var{c}}&=9x\\ \\ &&\frac{\var{c}}{9}&=x \end{align}$

Zum Schluss kürzen wir $\displaystyle\frac{\var{c}}{9}$ mit $3$ und bekommen $\simplify{{c}/{9}}$ . Also gilt $0.\bar{\var{c}}=\simplify{{c}/{9}}$ .

b)

$\displaystyle\var{f}$

$\var{f}\times\frac{\var{f1000}}{\var{f1000}}=\frac{\var{f2}}{\var{f1000}}\text{.}$

Wir berechnen den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner; dies ist $\var{mygcd}$ .

Folglich kann der Bruch nicht weiter gekürzt werden, und die Antwort ist

Indem wir damit kürzen, erhalten wir

$\frac{\var{f3}}{\var{f4}}.$

c)

$\var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}.$

Wir gehen ähnlich vor wie beim letzten Teil von a):

$x=\var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}.$

Um in diesem Fall zum Ziel zu kommen, multiplizieren wir mit $100 = 10^2$ , weil der periodische Teil die Länge $2$ hat.

$100x=\var{h}\var{j}\var{k}.\overline{\var{j}\var{k}}.$

Wir ziehen die erste Gleichung von der zweiten ab und lösen nach $x$ auf.

$\begin{align} &&\var{h}\var{j}\var{k}.\overline{\var{j}\var{k}}&=100x\\ -&&\var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}&=x\\ &&\overline{\qquad} & \overline{\qquad} \\ &&{{\var{h}}\var{j}\var{k-h}}&=99x\\ \\ &&\frac{\var{numerator}}{\var{g}}&=x\text{.}\\ \end{align}$

Zum Schluss prüfen wir noch, ob der Bruch gekürzt werden kann. Der ggT von Zähler und Nenner ist $\var{gcd1 }$ .

Also lässt sich der Bruch nicht weiter kürzen und wir erhalten

Indem wir damit kürzen, erhalten wir $\displaystyle\simplify{{{numerator}}/{g}}$ und somit

$\begin{align} \var{h}.\overline{\var{j}\var{k}}=\simplify{{{numerator}}/{g}}\text{ als Bruchzahl.}\\ \end{align}$

Give a worked solution to the whole question.

Use this tab to check that this question works as expected.

There was an error which means the tests can't run:

Part	Test	Passed?
Gap-fill
Gap-fill		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet
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Number entry		Hasn't run yet
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Number entry		Hasn't run yet
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Number entry		Hasn't run yet
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Number entry		Hasn't run yet
Gap-fill
Gap-fill		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet
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Number entry		Hasn't run yet
Gap-fill
Gap-fill		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet

This question is used in the following exams:

Bruchrechnung by Ulrich Görtz in Lineare Algebra 1.
Bruchrechnung by Ulrich Görtz in Mathe für WiWi.

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Taxonomy: mathcentre

Taxonomy: Kind of activity

Taxonomy: Context

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Generated value: `number`

Parts

Gap-fill

a)

b)

c)

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Gap-fill

a)

b)

c)

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