Geradengleichungen

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Ulrich Görtz

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Ulrich Görtz 4 years, 5 months ago

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Ulrich Görtz 4 years, 5 months ago

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Ulrich Görtz 4 years, 6 months ago

Created this as a copy of Equation of a straight line.

Name	Status	Author	Last Modified
Equation of a straight line	Ready to use	Newcastle University Mathematics and Statistics	25/06/2022 13:18
Luis's copy of Equation of a straight line	draft	Luis Hernandez	30/11/2018 19:00
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente conocida y pasa por un punto..	Ready to use	Luis Hernandez	14/12/2020 19:30
Maria's copy of Equation of a straight line	draft	Maria Aneiros	29/05/2019 05:08
Geradengleichungen	Ready to use	Ulrich Görtz	21/10/2020 14:56

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Question statement

Verschiedene Fragen zu Geradengleichungen.

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

bp1x	integer	3
bp1y	integer	-3
bp2x	integer	1
bp2y	integer	2
bm	rational	-5/2
bb	rational	9/2

			Name	Type	Generated Value

cm1	integer	-4
cb1	integer	2
cm2	integer	-3
cb2	integer	5

			Name	Type	Generated Value

dp1x	integer	-5
dp1y	integer	5
dp2x	integer	4
dp2y	integer	-5
dmg	rational	-10/9
dp3x	integer	-3
dp3y	integer	-1
dp4x	integer	-4
dp4y	integer	5
dmh	rational	-6
dbg	rational	-5/9
dbh	rational	-19
dx	rational	-83/22
dy	rational	40/11

			Name	Type	Generated Value

ea	integer	1
em	rational	-1
ep1x	integer	-5
ep1y	integer	1
ep2x	integer	0
ep2y	integer	-4
eb	rational	-4

			Name	Type	Generated Value

a	integer	1
c	integer	5
b	integer	1
d	integer	2
g	rational	3/4
f	rational	1/4
s1	integer	1
b1	integer	1

Automatically regenerate variables?

Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
random(-3..3)

JME function reference

Description

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `integer`

This variable doesn't seem to be used anywhere.

Parts

Part a) Gap-fill
1. Gap Mathematical expression
  Add
1. Step Information only
Part b) Gap-fill
1. Gap Mathematical expression
  Add
Part c) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
Part d) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
1. Step Information only
Part e) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
1. Step Information only

Gap-fill

Ask the student a question, and give any hints about how they should answer this part.

Geben Sie die Gleichung der Geraden mit

Steigung $\displaystyle \simplify{{b-d}/{a-c}}$ ,

die durch den Punkt $(\var{a},\var{b})$ geht, an.

Geben Sie Ihre Antwort in der Form $y=mx+b$ für geeignete Werte von $m$ und $b$ an.

Geben Sie $m$ und $b$ als Bruchzahlen oder als ganze Zahlen an.

Für einen Hinweis klicken Sie Zeige Tipps (es wird 1 Punkt abgezogen).

$y=\;\phantom{{}}$ Unnamed gap

Advice

Die Geradengleichung hat die Form $y=mx+b$ .

Dabei ist $m$ die Steigung. Wir können $b$ (den " $y$ -Achenabschnitt") ausrechnen, indem wir ausnutzen, dass der Punkt mit Koordinaten $x=\var{a}$ und $y=\var{b}$ auf der Geraden liegt, dass also diese Werte für $x$ und $y$ die Geradengleichung erfüllen müssen.

Wir erhalten (hier wird $\times$ statt $\cdot$ für die Multiplikation geschrieben):
$\begin{eqnarray} \var{b}&=&\simplify[std]{({b-d}/{a-c}){a}+b} \Rightarrow\\ b&=&\simplify[std]{{b}-({b-d}/{a-c}){a}={(b*c-a*d)}/{(c-a)}} \end{eqnarray}$

Die Geradengleichung ist mithin
$y = \simplify[std]{({b-d}/{a-c})x+{b*c-a*d}/{c-a}}$

Die Geradengleichung hat die Form $y=mx+b$ . Dass $P_1$ und $P_2$ beide auf der Geraden liegen, bedeutet, dass

$\begin{align} \var{bp1x} m + b & = \var{bp1y}\\ \var{bp2x} m + b & = \var{bp2y}\end{align}$

Wenn wir die beiden Gleichungen voneinander abziehen und nach $m$ auflösen, erhalten wir

$m = \frac{\simplify[basic]{{bp2y}-{bp1y}}}{\simplify[basic]{{bp2x}-{bp1x}}} = \simplify{({bp2y}-{bp1y})/({bp2x}-{bp1x})}.$

Dies können wir in die erste Gleichung einsetzen, um $b$ auszurechnen. Das Ergebnis ist

$y = \simplify[std]{{bm}*x+{bb}}.$

Für die gesuchten Koordinaten $x$ und $y$ müssen beide Geradengleichungen erfüllt sein, es gilt also

$\simplify[std]{{cm1} x + {cb1}} = y = \simplify[std]{{cm2} x + {cb2}}.$

Diese Gleichung können wir nach $x$ auflösen und erhalten

$x = \simplify[std]{{(cb1-cb2)/(cm2-cm1)}}\quad\text{und}\quad y = \simplify[std]{{(cb1-cb2)/(cm2-cm1)*cm1+cb1}}.$

Zuerst stellen wir wie in Teil b) die Geradengleichungen für $g$ und $h$ auf:

$g\colon y = \simplify[std]{{dmg} x + {dbg}},$

$h\colon y = \simplify[std]{{dmh} x + {dbh}}.$

Dann können wir mit demselben Vorgehen wie in Teil c) den Schnittpunkt dieser beiden Geraden berechnen. Das Ergebnis ist der Punkt

$\left(\simplify[std]{{dx}}, \simplify[std]{{dy}}\right).$

Die Geradengleichung für die Gerade durch $P_1$ und $P_2$ ist

$y = \simplify[std]{{em}x+{eb}}.$

Für die Koordinaten des Schnittpunkts gilt also $y = \simplify[std]{{em}x+{eb}}$ und $x=\var{ea}$ , der Schnittpunkt ist folglich $(\var{ea}, \simplify[std]{{em*ea+eb}})$ .

Bemerkung: Die Gerade, die durch die Gleichung $x=\var{ea}$ ist eine senkrechte Gerade. Diese Gerade ist nicht der Funktionsgraph einer linearen Funktion, und die Gerade lässt sich daher nicht durch eine Gleichung der Form $y=mx+b$ beschreiben.

Give a worked solution to the whole question.

Use this tab to check that this question works as expected.

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Number entry		Hasn't run yet
Number entry
Number entry		Hasn't run yet
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This question is used in the following exam:

Einfache Gleichungen by Ulrich Görtz in Lineare Algebra 1.

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Taxonomy: mathcentre

Taxonomy: Kind of activity

Taxonomy: Context

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Ulrich Görtz 4 years, 5 months ago

Ulrich Görtz 4 years, 5 months ago

Ulrich Görtz 4 years, 6 months ago

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