Lineare Funktionen

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Question statement

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

m	integer	5
b	integer	-3
m1	integer	-6
b1	integer	3

Automatically regenerate variables?

Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
random(-8..8 except 0)

JME function reference

Description

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `integer`

This variable doesn't seem to be used anywhere.

Parts

Explore mode options

Konkrete Funktion Choose several from a list
Multiple Choice Match choices with answers
Umkehrfunktion konkret Gap-fill
1. Gap Mathematical expression
  Add
Umkehrfunktion allgemein Gap-fill
1. Gap Mathematical expression
  Add

Help with explore mode

Maximum mark

(sum of objective limits)

Objectives

Show objectives

Name	Limit

Penalties

Show penalties

Advice

Für eine Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ , $x\mapsto mx+b$ sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

(i) $m \ne 0$ ,

(ii) $f$ hat eine Umkehrfunktion $g\colon \mathbb R\to \mathbb R$

(iii) $f$ ist bijektiv,

(iv) $f$ ist injektiv,

(v) $f$ ist surjektiv,

(vi) $f$ ist nicht konstant,

und in diesem Fall ist die Umkehrfunktion von $f$ gegeben durch $x\mapsto \frac 1m x - \frac bm$ .

Alle diese Implikationen sind nicht schwer zu zeigen. Einige Hinweise: Für (i) $\Rightarrow$ (ii) rechnet man direkt nach, dass $g\circ f = {\rm id}$ , $f\circ g={\rm id}$ , wenn $g$ definiert ist durch $x\mapsto \frac 1m x - \frac bm$ (wegen $m\ne 0$ ist das möglich). Die Implikationen (ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Rightarrow$ (iv) sind klar.

Für (iv) $\Rightarrow$ (v) benutze, dass offensichtlich (iii) $\Rightarrow$ (i) gilt und wir uns (i) $\Rightarrow$ (ii) schon überlegt haben. Ferner ist (v) $\Rightarrow$ (vi) $\Rightarrow$ (i) klar, und damit folgt die Äquivalenz aller Aussagen.

Außerdem gilt für $f$ wie oben: $f={\rm id}_{\mathbb R}$ genau dann, wenn $m=1$ und $b=0$ , denn das bedeutet gerade $f(x)=x$ .

Mit diesen Überlegungen lassen sich alle Aufgabenteile beantworten.

Give a worked solution to the whole question.

Use this tab to check that this question works as expected.

There was an error which means the tests can't run:

Part	Test	Passed?
Choose several from a list
Choose several from a list		Hasn't run yet
Match choices with answers
Match choices with answers		Hasn't run yet
Gap-fill
Gap-fill		Hasn't run yet
Mathematical expression
Mathematical expression		Hasn't run yet
Gap-fill
Gap-fill		Hasn't run yet
Mathematical expression
Mathematical expression		Hasn't run yet

This question is used in the following exams:

Abbildungen by Ulrich Görtz in Lineare Algebra 1.
Anna-Maria's copy of Abbildungen by Anna-Maria Pippich in Vorkurs Konstanz.

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Objectives

Penalties

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