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Question statement

Wir betrachten die Gruppe $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ $G=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , die durch die folgende Verknüpfungstafel gegeben ist:

$\var{latex(latex_table)}$

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

groups	list	Nested 7×5 list
gp	list	List of 5 items
table	matrix	Matrix of size 8×8
name	string	C8
is_commutative	boolean	true
symbols	list	List of 8 items
order	number	8
elts_of_order2	set	set(5,1)
subgp	set	set(1,3,5,7)
latex_table	string	\begin\{array\}\{c\|cccccccc\}
tt	boolean	false

Automatically regenerate variables?

Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
[["C6", [[1, 2, 3, 4, 5, 6], [2, 3, 4, 5, 6, 1], [3, 4, 5, 6, 1, 2], [4, 5, 6, 1, 2, 3], [5, 6, 1, 2, 3, 4], [6, 1, 2, 3, 4, 5]], true, [4], [1, 3, 5]], ["S3", [[1, 2, 3, 4, 5, 6], [2, 3, 1, 6, 4, 5], [3, 1, 2, 5, 6, 4], [4, 5, 6, 1, 2, 3], [5, 6, 4, 3, 1, 2], [6, 4, 5, 2, 3, 1]], false, [4, 5, 6], [1, 2, 3]], ["C8", [[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]], true, [5], [1, 3, 5, 7]], ["C4C2", [[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, 5], [3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6], [4, 1, 2, 3, 8, 5, 6, 7], [5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 5, 2, 3, 4, 1], [7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2], [8, 5, 6, 7, 4, 1, 2, 3]], true, [3, 5, 7], [1, 2, 3, 4]], ["C2C2C2", [[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7], [3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6], [4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5], [5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4], [6, 5, 8, 7, 2, 1, 4, 3], [7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2], [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]], true, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [1, 2, 3, 4]], ["D8", [[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [2, 3, 4, 1, 8, 5, 6, 7], [3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6], [4, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 5], [5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 5, 4, 1, 2, 3], [7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2], [8, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 1]], false, [3, 5, 6, 7, 8], [1, 2, 3, 4]], ["Q", [[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [2, 5, 4, 7, 6, 1, 8, 3], [3, 8, 5, 2, 7, 4, 1, 6], [4, 3, 6, 5, 8, 7, 2, 1], [5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4], [6, 1, 8, 3, 2, 5, 4, 7], [7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, 2], [8, 7, 2, 1, 4, 3, 6, 5]], false, [5], [1, 3, 5, 7]]]

JME function reference

Description

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `list`

[ [ "C6", [ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ], [ 2, 3, 4, 5, 6, 1 ], [ 3, 4, 5, 6, 1, 2 ], [ 4, 5, 6, 1, 2, 3 ], [ 5, 6, 1, 2, 3, 4 ], [ 6, 1, 2, 3, 4, 5 ] ], true, [ 4 ], [ 1, 3, 5 ] ], [ "S3", [ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ], [ 2, 3, 1, 6, 4, 5 ], [ 3, 1, 2, 5, 6, 4 ], [ 4, 5, 6, 1, 2, 3 ], [ 5, 6, 4, 3, 1, 2 ], [ 6, 4, 5, 2, 3, 1 ] ], false, [ 4, 5, 6 ], [ 1, 2, 3 ] ], [ "C8", [ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ], [ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1 ], [ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2 ], [ 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3 ], [ 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4 ], [ 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5 ], [ 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ], [ 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ] ], true, [ 5 ], [ 1, 3, 5, 7 ] ], [ "C4C2", [ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ], [ 2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, 5 ], [ 3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6 ], [ 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6, 7 ], [ 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4 ], [ 6, 7, 8, 5, 2, 3, 4, 1 ], [ 7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2 ], [ 8, 5, 6, 7, 4, 1, 2, 3 ] ], true, [ 3, 5, 7 ], [ 1, 2, 3, 4 ] ], [ "C2C2C2", [ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ], [ 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7 ], [ 3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6 ], [ 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5 ], [ 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4 ], [ 6, 5, 8, 7, 2, 1, 4, 3 ], [ 7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2 ], [ 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 ] ], true, [ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ], [ 1, 2, 3, 4 ] ], [ "D8", [ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ], [ 2, 3, 4, 1, 8, 5, 6, 7 ], [ 3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6 ], [ 4, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 5 ], [ 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4 ], [ 6, 7, 8, 5, 4, 1, 2, 3 ], [ 7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2 ], [ 8, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 1 ] ], false, [ 3, 5, 6, 7, 8 ], [ 1, 2, 3, 4 ] ], [ "Q", [ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ], [ 2, 5, 4, 7, 6, 1, 8, 3 ], [ 3, 8, 5, 2, 7, 4, 1, 6 ], [ 4, 3, 6, 5, 8, 7, 2, 1 ], [ 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4 ], [ 6, 1, 8, 3, 2, 5, 4, 7 ], [ 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, 2 ], [ 8, 7, 2, 1, 4, 3, 6, 5 ] ], false, [ 5 ], [ 1, 3, 5, 7 ] ] ]

→ Used by:

This variable doesn't seem to be used anywhere.

Parts

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Part b) Gap-fill
1. Gap Mathematical expression
  Add
Part c) Gap-fill
1. Gap Mathematical expression
  Add

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Ask the student a question, and give any hints about how they should answer this part.

Ist die Gruppe $G$ kommutativ?

Show choice feedback state?

Show correct answer on reveal?

Show score feedback icon?

Advanced settings

Selection type

Number of display columns

(not displayed in columns)

Custom marking matrix?

Ja

Marks: Distractor Message:
Nein

Marks: Distractor Message:

Advice

Dass die Gruppe kommutativ ist, bedeutet, dass die Verknüpfungstafel symmetrisch bezüglich der Diagonalen von links oben nach rechts unten ist.

Die Eigenschaft $g = g^{-1}$ ist äquivalent zu $g\cdot g = 1$ ( $1$ ist das neutrale Element der Verknüpfung). Es sind daher alle diejenigen Elemente anzugeben, für die die entsprechende Eintrag auf der Diagonale gleich $1$ ist.

Es ist eine Teilmenge $H$ mit $\var{order/2}$ Elementen zu finden, die das neutrale Element $1$ enthält, und abgeschlossen ist unter der Verknüpfung, d.h. für alle $h_1, h_2\in H$ gilt auch $h_1\cdot h_2\in H$ . Wenn man alle anderen Zeilen und Spalten der Verknüpfungstabelle streicht, dürfen also nur noch Elemente aus der Teilmenge $H$ stehen bleiben.

Bemerkung.

Diese Gruppe ist isomorph zur Gruppe $\mathbb Z/6$ (allerdings hier ungewöhnlich geschrieben, da $1$ das neutrale Element in der obigen Verknüpfungstafel ist). Die Gruppe ist zyklisch, d.h. es gibt $g\in G$ mit $G = \langle g\rangle$ . Es existiert genau eine Untergruppe mit $3$ Elementen.

Diese Gruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_3$ . Es gibt genau eine Untergruppe mit $3$ Elementen.

Diese Gruppe ist isomorph zur Gruppe $\mathbb Z/8$ (allerdings hier ungewöhnlich geschrieben, da $1$ das neutrale Element in der obigen Verknüpfungstafel ist). Die Gruppe ist zyklisch, d.h. es gibt $g\in G$ mit $G = \langle g\rangle$ . Es existiert genau eine Untergruppe mit $4$ Elementen.

Diese Gruppe ist isomorph zum Produkt $\mathbb Z/4 \times \mathbb Z/2$ . Es gibt drei Untergruppen mit $4$ Elementen.

Diese Gruppe ist isomorph zum Produkt $\mathbb Z/2\times \mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$ . Es gibt sieben Untergruppen mit $4$ Elementen.

Diese Gruppe ist die Diedergruppe $D_8$ mit $8$ Elementen. Es gibt drei Untergruppen mit $4$ Elementen.

Diese Gruppe ist die sogenannte Quaternionen-Gruppe. Es gibt drei Untergruppen mit $4$ Elementen.

Wenn Sie "Probiere ein andere Aufgabe ..." anklicken, können Sie eine andere Gruppe untersuchen. (Die Daten in der Aufgabe decken alle zwei sechselementigen und alle fünf achtelementigen Gruppen ab.)

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Mathematical expression
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This question is used in the following exam:

Gruppen by Ulrich Görtz in Lineare Algebra 1.

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