Problème des Partis (3 Spieler)

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Question statement

In Luca Paciolis "Summa de Arithmetica Geometria Proportioni et Proportionalita" findet sich das problème des partis auch für 3 Spieler:

Drei messen sich im Armbrustschießen; wer als erster 5-mal am besten trifft, gewinnt; sie setzen insgesamt 81 Dukaten ein (jeder 27).
Bei einem Stand von 4 Treffern für den ersten (A), 3 für den zweiten (B) und 2 für den dritten (C) wollen sie nicht mehr weiter machen und kommen überein, den Einsatz zu teilen.
Ich frage, wie viel jedem zusteht.

^{Hinweis: Diese Aufgabe enthält keine zufälligen Parameter. Zahlenwerte leicht gegenüber dem Original modifiziert.}

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

A	integer	4
B	integer	3
C	integer	2
K	integer	6
G	integer	81
PacioliA	decimal	dec("36.00")
PacioliB	rational	27
PacioliC	rational	18
OldA	decimal	dec("51")
OldB	rational	18
OldC	rational	12
PropA	rational	58/81
PropB	rational	17/81
PropC	rational	2/27
PascA	decimal	dec("58")
PascB	decimal	dec("17")
PascC	decimal	dec("6")

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Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
4

JME function reference

Description

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `integer`

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Parts

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1. Gap A Number entry
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2. Gap B Number entry
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3. Gap C Number entry
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Part b) Gap-fill
1. Gap A Number entry
  Add
2. Gap B Number entry
  Add
3. Gap C Number entry
  Add
Part c) Gap-fill
1. Gap A Number entry
  Add
2. Gap B Number entry
  Add
3. Gap C Number entry
  Add

Gap-fill

Ask the student a question, and give any hints about how they should answer this part.

Wie wäre der Einsatz gemäß Paciolis Lösung (Proportionalität) aufzuteilen?

Runden Sie Ihre Antwort falls nötig auf ganze Dukaten!

Der erste Spieler (A) erhält A Dukaten, der zweite Spieler (B) erhält B Dukaten, der dritte Spieler (C) erhält C Dukaten.

Advice

zu a):

Proportionale Teilung bedeutet, wie $4:3:2$ zu teilen, das ergibt dann für Spieler A {PacioliA} Dukaten, für Spieler B {PacioliB} Dukaten und für Spieler C {PacioliC} Dukaten.

zu b):

Hier erhält jeder zwei Drittel der Dukaten aus Aufgabenteil a), außer der führende Spieler, der zusätzlich noch seine 27 Dukaten Einsatz zurück erhält, das ergibt dann für Spieler A {OldA} Dukaten, für Spieler B {OldB} Dukaten und für Spieler C {OldC} Dukaten.

zu c):

Wir ermitteln die Gewinnwahrscheinlichkeiten:

Insgesamt sind in diesem Spiel maximal $4+4+5=13$ Partien zu spielen, gespielt wurden bereits $9$ Partien gespielt wurden. Es stehen also noch $4$ Partien aus.

Es ist also nach der Anzahl an Möglichkeiten gefragt 3 Objekte (Sieg A, Sieg B, Sieg C) auf 4 Plätze (10., 11., 12., 13. Partie) anzuordnen, dafür gibt es $3^4=81$ Möglichkeiten.

Für Spieler A sind davon alle Partien günstig, bei denen er einmal gewinnen kann, bevor Spieler B mindestens zweimal oder Spieler B mindestens 3 mal gewinnen kann, ungünstig sind also alle Fälle,

in denen er selbst gar kein weiteres Spiel gewinnt, dafür gibt es $2^4=16$ Möglichkeiten
in denen Spieler B oder C die ersten drei Partien gewinnen würden, bevor er selbst das letzte Spiel gewinnen würde, dafür gibt es zusätzlich die beiden Möglichkeiten BBBBA, CCCA
in denen Spieler B die ersten beiden oder die erste und dritte Partie gewinnen würde, bevor er selbst noch mindestens ein weiteres Spiel gewinnt, dafür gibt es die fünf Möglichkeiten BBAA, BBCA, BBAC, BCBA, CBBA

Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist als $\frac{81-16-2-5}{81}=\frac{58}{81}$ .

Für Spieler C sind nur genau die Partien günstig, in denen

er selbst die ersten drei Spiele gewinnt, egal wer das letzte Spiel gewinnt, also die drei Fälle CCCC, CCCB, CCCA.
alle weiteren Spiele, in denen Spieler A nicht gewinnt und Spieler C drei mal, also die drei Fälle BCCC, CBCC, CCBC

Seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt also $\frac{3+3}{81}={6}{81}$ .

Spieler B gewinnt immer dann, wenn nicht $A$ oder $B$ gewinnt, seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt also $\frac{81-58-6}{81}=\frac{17}{81}$ .

Da wir (das war die kleine Zahlenmodifikation) erfreulicherweise genau 81 Dukaten verteilen, erhält nun also Spieler A davon 58, Spieler B erhält 17 und Spieler C erhält 6.

Give a worked solution to the whole question.

Use this tab to check that this question works as expected.

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Part	Test	Passed?
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