Irrationale Zahlen - Nenner rational machen - Numbas at mathcentre.ac.uk

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Ulrich Görtz

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Ulrich Görtz 4 years, 6 months ago

Created this as a copy of Rationalising the denominator - surds.

Name	Status	Author	Last Modified
Rationalising the denominator - surds	Ready to use	Lauren Richards	18/06/2024 11:49
Simon's copy of Rationalising the denominator - surds	draft	Simon Thomas	06/06/2019 11:00
Irrationale Zahlen - Nenner rational machen	Ready to use	Ulrich Görtz	20/10/2020 21:27

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Question statement

Schreiben Sie die folgenden Zahlen als Brüche mit einer ganzen Zahl im Nenner.

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

			square_nums	list	[ 16, 9, 25, 4 ]
			prime_nums	list	[ 3, 13, 7, 11, 5 ]

			Name	Type	Generated Value

n	integer	4
m	integer	4
n_lcm	number	28
m_lcm	number	20
a	list	[ 7, 11, 7, 7, 7 ]
b	list	[ 5, 3, 5, 3, 3 ]
num	number	560

			Name	Type	Generated Value

c	integer	9
d	integer	3
f	integer	7
df	integer	21
gcd_cdf	number	3
c_coprime	number	3
df_coprime	number	7

			Name	Type	Generated Value

g	number	6
h	number	12
j	integer	3
l	number	6
k	integer	2
o	number	2

			Name	Type	Generated Value

p	integer	2
r	integer	2
s	integer	3
r_coprime	number	2
s_coprime	number	3
p_p1	integer	1
qwerty	number	1
one	number	2
two	number	3

			Name	Type	Generated Value

t	integer	6
u	integer	10
ghi	number	26
denom_simp	number	13
gcd_num	number	2
gcd_frac	number	2
num_simp_1	number	23
num_simp_2	number	6

			Name	Type	Generated Value

sqrt

Definition of variable sqrt is empty.

Automatically regenerate variables?

Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
shuffle([4,9,16,25])

JME function reference

Description

List of square numbers.

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `list`

[ 16, 9, 25, 4 ]

→ Used by:

Advice
"Part a)" - prompt
"Part a)" → "Gap 0." - Minimum accepted value
"Part a)" → "Gap 0." - Maximum accepted value
"Part a)" → "Gap 1." - Minimum accepted value
"Part a)" → "Gap 1." - Maximum accepted value

Parts

Part a) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
Part b) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
Part c) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
Part d) Choose one from a list
Part e) Gap-fill
1. Gap Gap 0. Number entry
  Add
2. Gap Gap 1. Number entry
  Add
3. Gap Gap 2. Number entry
  Add
Part f) Choose one from a list

Gap-fill

Ask the student a question, and give any hints about how they should answer this part.

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke und schreiben Sie sie als ganze Zahlen.

$\displaystyle\frac{\sqrt{\simplify{{square_nums[0]}{prime_nums[0]}}}}{\sqrt{\var{prime_nums[0]}}}=$ Gap 0.

ii)

$\displaystyle\frac{\sqrt{\simplify{{square_nums[1]}{prime_nums[1]}}}}{\sqrt{\var{prime_nums[1]}}}=$ Gap 1.

Advice

a)

Es gilt $\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ .

$\displaystyle\frac{\sqrt{\simplify{{square_nums[0]}{prime_nums[0]}}}}{\sqrt{\var{prime_nums[0]}}} = \sqrt{\frac{{\simplify{{square_nums[0]}{prime_nums[0]}}}}{{\var{prime_nums[0]}}}} = \sqrt{\var{square_nums[0]}}= \simplify{{sqrt(square_nums[0])}}$

ii)

$\displaystyle\frac{\sqrt{\simplify{{square_nums[1]}{prime_nums[1]}}}}{\sqrt{\var{prime_nums[1]}}} = \sqrt{\frac{{\simplify{{square_nums[1]}{prime_nums[1]}}}}{{\var{prime_nums[1]}}}} = \sqrt{\var{square_nums[1]}} = \simplify{{sqrt(square_nums[1])}}$ .

b)

Um eine ganze Zahl in den Nenner zu bekommen, benutzen wir, dass $\displaystyle\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$ .

Gefragt ist, den Ausdruck $\displaystyle\frac{\sqrt{\var{n_lcm}}}{\sqrt{\var{m_lcm}}}$ umzuschreiben als Bruch mit einer ganzen Zahl im Nenner.

Der Nenner ist ${\sqrt{\var{m_lcm}}}$ , also multiplizieren wir den Nenner mit ${\sqrt{\var{m_lcm}}}$ .

$\frac{\sqrt{\var{n_lcm}}}{\sqrt{\var{m_lcm}}}\cdot\frac{\sqrt{\var{m_lcm}}}{\sqrt{\var{m_lcm}}}$

Weil $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ = $\sqrt{ab}$ , können wir den Zähler als $\sqrt{\var{num}}$ schreiben.

Der Nenner ist ${\sqrt{\var{m_lcm}}}\cdot{\sqrt{\var{m_lcm}}} = {\var{m_lcm}}$ .

Also ist das Ergebnis dieser Rechnung

$\frac{\sqrt{\var{num}}}{\var{m_lcm}}$

Zum Schluss können wir noch kürzen und erhalten

$\frac{\sqrt{\var{a[0]*b[0]}}}{\var{b[0]}}$

(Man kann natürlich auch schon zu Beginn kürzen, das ist im Grunde effizienter.)

c)

Zunächst erweitern wir den Bruch mit $\sqrt{\var{f}}$ . Weil $\displaystyle\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$ gilt, ist der Nenner des entstehenden Bruchs $\var{d}\cdot\var{f}=\var{df}$ .

$\displaystyle\frac{\var{c}}{\var{d}\sqrt{\var{f}}}\cdot\simplify[all,!simplifyFractions,!sqrtDivision]{sqrt({f})/(sqrt({f}))}={\frac{\simplify{{c}*sqrt({f})}}{{(\var{d}\cdot\var{f})}}}=\frac{\simplify{{c}*sqrt({f})}}{\var{d*f}}$ .

Wir kürzen noch mit $\var{gcd_cdf}$ , und erhalten als Ergebnis

$\frac{\simplify{{c}*sqrt({f})}}{\var{d*f}}=\frac{\simplify{{c_coprime}*sqrt({f})}}{\var{df_coprime}}$

Die Antwort soll in der Form $\frac{a \sqrt{\var{f}}}{b}$ gegeben werden, also ist $a = \var{c_coprime}$ und $b = \var{df_coprime}$ .

d)

Um auf eine ganze Zahl im Nenner zu kommen, wenn der Nenner eine Summe ist wie bei $\displaystyle\frac{\var{g}}{\sqrt{\var{h}}+\var{j}}$ , erweitern wir mit $\sqrt{\var{h}}-\var{j}$ und benutzen die dritte binomische Formel.

$\frac{\var{g}}{\sqrt{\var{h}}+\var{j}}\cdot\frac{(\sqrt{\var{h}}-\var{j})}{(\sqrt{\var{h}}-\var{j})}=\frac{\var{g}(\sqrt{\var{h}}-\var{j})}{(\sqrt{\var{h}}+\var{j})(\sqrt{\var{h}}-\var{j})}\text{.}$

Wir erhalten

$\frac{ \simplify{ {g*-j} + {g}*sqrt({h})} }{\var{h-j^2}}\text{,}$

Das können wir noch vereinfachen zu

$\var{o}\sqrt{\var{h}}-{\var{l}}\text{.}$

e)

Wir rechnen

$\displaystyle\frac{\var{t}-\sqrt{\var{u}}}{\var{t}+\sqrt{\var{u}}}$ =

$\displaystyle\frac{\var{t}-\sqrt{\var{u}}}{\var{t}+\sqrt{\var{u}}}\times\frac{\var{t}-\sqrt{\var{u}}}{\var{t}-\sqrt{\var{u}}}=\frac{(\var{t}-\sqrt{\var{u}})(\var{t}-\sqrt{\var{u}})}{(\var{t}+\sqrt{\var{u}})(\var{t}-\sqrt{\var{u}})}=\frac{\var{t^2}-\var{2t}\sqrt{\var{u}}+\var{u}}{\var{t^2}-\var{u}}$ .

$\displaystyle\frac{\var{t^2}-\var{2t}\sqrt{\var{u}}+\var{u}}{\var{t^2}-\var{u}}=\frac{\var{t^2+u}-\var{2t}{\sqrt{\var{u}}}}{\var{t^2-u}}$ .

Kürzen mit ${\var{gcd_frac}}$ ergibt dann

$\displaystyle\frac{\var{num_simp_1}-\simplify{{num_simp_2}*sqrt({u})}}{\var{denom_simp}}$ .

f)

Um die Brüche $\displaystyle\frac{\var{p}}{\sqrt{\var{p}}+\sqrt{\var{p^3}}}+\frac{\var{r_coprime}}{\var{s_coprime}}$ zu addieren, müssen wir sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Beachten Sie, dass $\sqrt{\var{p^3}}$ umgeschrieben werden kann als $\var{p}\sqrt{\var{p}}$ , das bedeutet, dass wir den ersten Bruch schreiben können als

$\frac{\var{p}}{\sqrt{\var{p}}+\var{p}\sqrt{\var{p}}} \text{.}$

Das vereinfachen wir weiter zu

$\frac{\var{p}}{\var{p+1}\sqrt{\var{p}}} \text{.}$

Deshalb haben wir als Zwischenergebnis $\displaystyle\frac{\var{p}}{{\var{p+1}}\sqrt{\var{p}}}+\frac{\var{r_coprime}}{\var{s_coprime}}$ .

Um die Addition durchzuführen, müssen wir den zweiten Bruch auf denselben Nenner bringen. Wir erweitern mit $\simplify{{p_p1}sqrt({p})}$ , also

$\displaystyle\frac{\var{r_coprime}}{\var{s_coprime}}\cdot\simplify[all,!simplifyFractions,!sqrtDivision]{{p_p1}*sqrt({p})/({p_p1}*sqrt({p}))}=\frac{\simplify{{one}*sqrt({p})}}{\var{two}\sqrt{\var{p}}}$ ,

Jetzt erhalten wir

$\frac{\var{p}}{\var{p+1}\sqrt{\var{p}}}+\frac{\simplify{{one}*sqrt({p})}}{\var{two}\sqrt{\var{p}}}= \frac{\var{p}+\simplify{{one}*sqrt({p})}}{\var{p+1}\sqrt{\var{p}}}$

Weil $\displaystyle\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$ ist, können wir $\sqrt{\var{p}}$ im Zähler ausklammern:

$\frac{\sqrt{\var{p}}(\sqrt{\var{p}}+\var{r_coprime*p_p1})}{\var{p+1}\sqrt{\var{p}}}\text{.}$

Wir kürzen jetzt mit $\sqrt{\var{p}}$ und bekommen

$\frac{\sqrt{\var{p}}+\var{one}}{\var{p+1}} \text{.}$

Give a worked solution to the whole question.

Use this tab to check that this question works as expected.

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This question is used in the following exam:

Einfache Gleichungen by Ulrich Görtz in Lineare Algebra 1.

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Irrationale Zahlen - Nenner rational machen

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Taxonomy: mathcentre

Taxonomy: Kind of activity

Taxonomy: Context

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Generated value: `list`

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a)

b)

c)

d)

e)

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