Immer, manchmal oder nie? (Quadratzahlen und dritte Potenzen)

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Ulrich Görtz

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Ulrich Görtz 4 years, 6 months ago

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Name	Status	Author	Last Modified
Square and cube numbers	Ready to use	Stanislav Duris	20/11/2019 14:43
Calculate powers of ten	Ready to use	Stanislav Duris	20/11/2019 14:34
Always, sometimes or never: square and cube numbers	Ready to use	Stanislav Duris	20/11/2019 14:32
Positieve en negatieve machten van 10	draft	Johan Maertens	30/12/2022 10:15
Q3.Homework7	draft	Patrick Joyce	07/08/2017 16:32
Q17.(new)	draft	Patrick Joyce	10/08/2017 15:53
Q18.(new)	draft	Patrick Joyce	10/08/2017 15:56
Q17.(new)	Ready to use	Patrick Joyce	05/12/2017 12:47
Q18.(new)	Ready to use	Patrick Joyce	05/12/2017 12:48
Q19.(new)	Ready to use	Patrick Joyce	05/12/2017 12:50
Q20.(new)	Ready to use	Patrick Joyce	30/11/2017 17:16
Grainne's copy of Q19.(new)	draft	Grainne Scanlon	16/01/2018 13:45
Louise's copy of Calculate powers of ten	draft	Louise Lynch	26/01/2022 19:48
Always, sometimes or never: square and cube numbers	draft	Xiaodan Leng	11/07/2019 01:45
Square and cube numbers 1	draft	Leonardo Juliano	19/09/2019 16:05
Immer, manchmal oder nie? (Quadratzahlen und dritte Potenzen)	Ready to use	Ulrich Görtz	30/09/2024 20:07

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Question statement

Wählen Sie für jede der folgenden Aussagen "Immer", "Manchmal" oder "Nie".

Wählen Sie

"Immer", wenn die Aussage für jede reelle Zahl $x$ richtig ist,
"Manchmal", wenn es reelle Zahlen $x$ gibt, für die die Aussage richtig, und auch reelle Zahlen $x$ , für die die Aussage falsch ist,
"Nie", wenn es keine reelle Zahl gibt, für die die Aussage wahr ist.

Give any introductory information the student needs.

			Name	Type	Generated Value

integer

Automatically regenerate variables?

Name

Data type

Value

xxxxxxxxxx
 
1

JME function reference

Description

This variable was created solely for the purpose of being able to publish this question.

Describe what this variable represents, and list any assumptions made about its value.

Can an exam override the value of this variable?

Generated value: `integer`

This variable doesn't seem to be used anywhere.

Parts

Match choices with answers

Match choices with answers

Ask the student a question, and give any hints about how they should answer this part.

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i) $x^3$ is größer als $x^2$
ii) $x^2$ ist größer als $x$
iii) Wenn $x$ negativ ist, dann ist $x^2$ negativ.
iv) Wenn $x$ negativ ist, dann ist $x^3$ negativ.
v) $x^2 = x$
vi) $x^2 = - x$
vii) $(x+1)^2 \gt x$
viii) $(x+1)^3 \gt x$
ix) $x^3 \cdot x = x^2 \cdot x^2$
x) Die Vorzeichen von $x^2$ und $x$ sind unterschiedlich.
xi) Die Vorzeichen von $x^3$ und $x$ sind unterschiedlich.

Immer
Manchmal
Nie

For each combination of answer and choice, specify the number of marks to add or subtract when the student picks it.

	Immer	Manchmal	Nie
i) $x^3$ is größer als $x^2$
ii) $x^2$ ist größer als $x$
iii) Wenn $x$ negativ ist, dann ist $x^2$ negativ.
iv) Wenn $x$ negativ ist, dann ist $x^3$ negativ.
v) $x^2 = x$
vi) $x^2 = - x$
vii) $(x+1)^2 \gt x$
viii) $(x+1)^3 \gt x$
ix) $x^3 \cdot x = x^2 \cdot x^2$
x) Die Vorzeichen von $x^2$ und $x$ sind unterschiedlich.
xi) Die Vorzeichen von $x^3$ und $x$ sind unterschiedlich.

Advice

Sei zum Beispiel $x = -5$ .

$\begin{align} x^2 &= (-5)^2 \\&= 25 \\ x^3 &= (-5)^3 \\&= -125 \\x^3 &\lt x^2\text{.} \end{align}$

Jetzt sei $x = 5$ .

$\begin{align} x^2 &= 5^2 \\&= 25 \\ x^3 &= 5^3 \\&= 125 \\x^3 &\gt x^2\text{.}\end{align}$

Deshalb ist $x^3$ manchmal größer als $x^2$ .

(Ein anderer Fall, in dem $x^3 < x^2$ gilt, ist $x=\frac 12$ . Können Sie die Menge aller $x$ angeben, für die $x^3<x^2$ gilt?)

ii)

Die Aussage ist wahr für $x \gt 1$ und für $x \lt 0$ , aber falsch für $x$ mit $0 \leq x \leq 1$ . Sei zum Beispiel $x=\frac 12$ .

$\begin{align} \text{Wenn } x &= \frac 12\text{,} \\x^2 &= \frac 14\text{, also} \\ x^2 &\lt x \text{.} \end{align}$

Deshalb ist $x^2$ manchmal größer als $x$ .

(Können Sie die Menge aller $x$ angeben, für die $x^2 > x$ gilt?)

iii)

Wenn man zwei negative Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis positiv; ebenso, wenn man zwei positive Zahlen multipliziert; und $0^2=0$ . Daher ist $x^2$ niemals negativ.

iv)

Ein Produkt von negativen Zahlen mit einer ungeraden Anzahl an Faktoren ist negativ. Ist also $x$ negativ, dann ist $x^3$ immer negativ.

Das ist richtig, wenn $x =0$ oder $x= 1$ , aber falsch für alle anderen Werte von $x$ . Deshalb ist $x^2$ manchmal gleich $x$ .

vi)

Die Aussage ist wahr für $x = -1$ , aber falsch für alle anderen Werte von $x$ . Deshalb ist $x^2$ manchmal gleich $-x$ .

vii)

Jedenfalls ist $(x+1)^2 \ge 0$ , denn es handelt sich um eine Quadratzahl. Daher gilt $(x+1)^2 > x$ für alle negativen $x$ .

Ist $x\ge 0$ , so gilt $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 > x$ , denn $x^2\ge 0$ , $2x\ge x$ , $1>0$ . Also ist immer $(x+1)^2>x$ .

viii)

Für $x = 5$ haben wir:

$\begin{align} (x+1)^3 &= (5 + 1)^3 \\&= 6^3 \\&= 216 \gt x = 5 \end{align}$

Andererseits gilt für $x =-4$

$\begin{align} (x+1)^3 &= (-4 + 1)^3 \\&= (-3)^3 \\&= -27 \lt x = -4 \end{align}$

Also ist $(x+1)^3$ manchmal größer als $x$ .

ix)

Wir haben

$x^3\cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x = x^2 \cdot x^2\text{.}$

Deshalb gilt immer, dass $x^3 \cdot x=x^2 \cdot x^2$.

Die Zahlen $x^2$ und $x$ haben genau dann unterschiedliches Vorzeichen, wenn $x$ negativ ist. Also haben $x^2$ und $x$ manchmal unterschiedliches Vorzeichen.

xi)

Für $x<0$ ist $x^3<0$ , für $x>0$ ist $x^3>0$ (und für $x=0$ ist $x^3=0$ ). Also haben $x^3$ und $x$ niemals unterschiedliche Vorzeichen.

Give a worked solution to the whole question.

Use this tab to check that this question works as expected.

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This question is used in the following exam:

Einfache Gleichungen by Ulrich Görtz in Lineare Algebra 1.

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Ulrich Görtz 4 years, 5 months ago

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